Soluzioni
  • I divisori di 180, o sottomultipli di 180, sono tutti e soli i numeri interi che dividono 180. In altre parole un divisore di 180 è un qualsiasi numero intero, positivo o negativo, tale che la divisione tra 180 e il numero considerato ha resto uguale a zero.

    Cominciamo con l'elenco di tutti i divisori di 180, scritti in ordine crescente:

    -180, -90, -60, -45, -36, -30, -20, -18, -15, -12, -10, -9, -6, -5, -4, -3, -2, -1,

    1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180

    Come abbiamo spiegato nella guida sui divisori di un numero, nella scuola primaria si imparano a calcolare solamente i divisori positivi di 180:

    1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180

    Quando poi si studiano i numeri interi relativi (numeri interi con segno meno o più, zero incluso) tra il secondo e il terzo anno di scuola media, si scopre che i divisori di un numero possono essere anche negativi. Da quel momento in poi si devono quindi considerare anche i divisori negativi di 180:

    -1, -2, -3, -4, -5, -6, -9, -10, -12, -15, -18, -20, -30, -36, -45, -60, -90, -180

    Come sappiamo i numeri sono infiniti, dunque sarebbe impossibile ricordare a memoria tutti i divisori di qualsiasi numero. Conviene allora imparare un metodo che permetta di calcolarli e che si possa applicare sempre.

    Calcolo dei divisori di 180

    Vediamo come usare il metodo della scomposizione in fattori primi per calcolare i divisori di 180.

    Scomponiamo 180 in fattori primi:

    \begin{array}{c|c} 180&2 \\ 90&2 \\ 45&5 \\ 9&3 \\ 3&3 \\ 1&\end{array}

    Dai numeri della colonna di destra ricaviamo:

    • i divisori primi di 180, cioè i numeri primi che dividono 180:

    2, 3, 5

    • I divisori positivi di 180, che sono il numero 1 (divisore di ogni numero), i divisori primi 2, 3 e 5, e tutti i possibili prodotti tra i numeri della colonna di destra

    \\ 2 \times 2 = 4 \\ \\ 2 \times 3 = 6 \\ \\ 3 \times 3 = 9 \\ \\ 2 \times 5 = 10 \\ \\ 2 \times 2 \times 3= 12 \\ \\ 3 \times 5 = 15 \\ \\ 2 \times 3 \times 3 = 18 \\ \\ 2 \times 2 \times 5 = 20 \\ \\ 2 \times 3 \times 5 = 30 \\ \\ 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 36 \\ \\ 3 \times 3 \times 5 = 45 \\ \\ 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 60 \\ \\ 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 90 \\ \\ 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 180

    e quindi:

    1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180

    • I divisori negativi di 180, che sono gli opposti dei divisori positivi:

    -1, -2, -3, -4, -5, -6, -9, -10, -12, -15, -18, -20, -30, -36, -45, -60, -90, -180

    Tutti i divisori di 180, dati dall'unione tra l'insieme dei divisori negativi e quello dei divisori positivi:

    -180, -90, -60, -45, -36, -30, -20, -18, -15, -12, -10, -9, -6, -5, -4, -3, -2, -1,

    1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180

    Metodo alternativo per il calcolo dei divisori positivi di 180

    Quando nella scomposizione in fattori primi la colonna di destra ha quattro o più elementi, di cui almeno due diversi tra loro, con il metodo dei prodotti si corre il rischio di dimenticare qualche divisore.

    In casi del genere conviene applicare un diverso procedimento:

    1) scomponiamo il numero in fattori primi e scriviamo la scomposizione in forma compatta

    180=2^2 \times 3^2 \times 5

    2) Compiliamo una tabella con tante righe quanti sono i divisori primi, e che contenga:

    - nella prima riga le potenze del primo fattore, da quella con esponente zero fino a quella con cui compare nella scomposizione;

    - nella seconda riga le potenze del secondo fattore, da quella con esponente zero fino a quella con cui figura nella scomposizione;

    - e così via, fino a esaurire tutti i fattori primi.

    Nel caso di 180 i fattori primi sono 2, 3 e 5, pertanto la tabella avrà tre righe. Nella prima riga ci saranno le potenze di 2 da 20 a 22, nella seconda riga le potenze di 3 da 30 a 32 e nella terza riga le potenze di 5 da 50 a 51

    \begin{array}{ccccccc}2^0&&2^1&&2^2 \\ \\ 3^0&&3^1&&3^2 \\ \\ 5^0&&5^1\end{array}

    3) Calcoliamo le potenze:

    \begin{array}{ccccccc}1&&2&&4 \\ \\ 1&&3&&9 \\ \\ 1&&5\end{array}

    4) Moltiplichiamo ogni numero della prima riga per ogni numero della seconda riga

    \\ 1 \times 1 = 1 \ \ ; \ \ 1 \times 3 = 3 \ \ ; \ \ 1 \times 9 = 9 \\ \\ 2 \times 1 = 2 \ \ ; \ \ 2 \times 3 = 6 \ \ ; \ \ 2 \times 9 = 18 \\ \\ 4 \times 1 = 4 \ \ ; \ \ 4 \times 3 = 12 \ \ ; \ \ 4 \times 9 = 36

    5) Scriviamo i prodotti appena calcolati in ordine crescente

    \begin{array}{cccccccccccccccccccccccc}1&&2&&3&&4&&6&&9&&12&&18&&36\end{array}

    e moltiplichiamoli per ciascun numero della terza riga della tabella (1 e 5)

    \\ 1 \times 1 = 1 \ \ ; \ \ 1 \times 5 = 5 \\ \\ 2 \times 1 = 2 \ \ ; \ \ 2 \times 5 = 10 \\ \\ 3 \times 1 = 3 \ \ ; \ \ 3 \times 5 = 15 \\ \\ 4 \times 1 = 4 \ \ ; \ \ 4 \times 5 = 20 \\ \\ 6 \times 1 = 6 \ \ ; \ \ 6 \times 5 = 30 \\ \\ 9 \times 1 = 9 \ \ ; \ \ 9 \times 5 = 45 \\ \\ 12 \times 1 = 12 \ \ ; \ \ 12 \times 5 = 60 \\ \\ 18 \times 1 = 18 \ \ ; \ \ 18 \times 5 = 90 \\ \\ 36 \times 1 = 36 \ \ ; \ \ 36 \times 5 = 180

    6) Le righe della tabella sono finite: abbiamo trovato tutti i divisori positivi di 180

    1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180

    Come stabilire se un numero è un divisore di 180

    Un numero intero è un divisore di 180 se soddisfa entrambe le seguenti condizioni:

    - è compreso tra -180 e 180, estremi inclusi;

    - il resto della divisione tra 180 il numero considerato è uguale a 0.

    In tutti gli altri casi il numero considerato non è un divisore di 180.

    Facciamo un esempio e controlliamo quali tra 5, 13, 18, 50, 60, 120 e 360 sono divisori di 180.

    Il numero 360 è maggiore di 180, dunque lo possiamo scartare. Per gli altri calcoliamo le rispettive divisioni:

    \\ 180:5 = 36 \ \mbox{ resto } 0 \\ \\ 180:13=13 \ \mbox{ resto } 11 \\ \\ 180:18=10 \ \mbox{ resto } 0 \\ \\ 180:50=3 \ \mbox{ resto } 30 \\ \\ 180:60 = 3 \ \mbox{ resto } 0 \\ \\ 180:120 = 1 \ \mbox{ resto } 60

    I divisori di 180 tra i numeri considerati sono 5, 18 e 60, perché sono compresi tra -180 e 180 e i resti delle rispettive divisioni sono uguali a zero.

    ***

    Lettura consigliata: multipli, sottomultipli e divisori - click!

    Risposta di Galois
 
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