Soluzioni
  • La derivata di cos(2x) (cioè la derivata del coseno di 2x) è uguale all'opposto del doppio del seno di 2x, ossia la derivata di f(x)=cos(2x) è f'(x)=-2sin(2x), e si calcola con la regola di derivazione di una funzione composta.

    (d)/(dx)[cos(2x)] = -2sin(2x)

    Calcolo della derivata di cos(2x)

    Per calcolare la derivata di cos(2x) consideriamo la funzione

    h(x) = cos(2x)

    e osserviamo che è una funzione composta, ossia una funzione del tipo

    h(x) = g(f(x))

    con

    f(x) = 2x ; g(y) = cos(y)

    Valutando la funzione g(y) con y = f(x) ricaviamo

    g(f(x)) = cos(2x)

    Per il teorema di derivazione della funzione composta, la derivata della funzione g(f(x)) è data dal prodotto tra la derivata della funzione più esterna, con argomento invariato, e la derivata della funzione interna:

    (d)/(dx)[g(f(x))] = g'(f(x))·f'(x)

    Nel nostro caso la funzione più interna è

    f(x) = 2x

    mentre quella esterna è la funzione coseno

    g(y) = cos(y)

    il cui argomento è

    y = f(x) = 2x

    Ricordiamo ora che:

    • la derivata del coseno è l'opposto del seno

    g'(y) = [cos(y)]'= -sin(y)

    • la derivata di 2x è uguale a 2

    f'(x) = [2x]'= 2

    Applicando la formula di derivazione della funzione composta, ricaviamo

    (d)/(dx)[cos(2x)] = -sin(2x)·2 = -2sin(2x)

    e dunque la derivata del coseno di 2x è uguale a -2sin(2x).

    ***

    Per concludere ti consigliamo di:

    - leggere la nostra lezione sul calcolo delle derivate;

    - avere sempre ben presenti le derivate fondamentali;

    - usare il tool sul calcolo delle derivate online per verificare i risultati degli esercizi.

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Wiki - Analisi Matematica