Derivata cos(2x)

Giuseppe Carichino (Galois) -

Qual è la derivata di cos(2x), ossia la derivata del coseno di 2x? Oltre a scriverne l'espressione potreste dirmi come si calcola, mostrando e spiegando tutti i passaggi che permettono di giungere al risultato?

Il calcolo della derivata di cos 2x viene proposta tra gli esercizi sul calcolo della derivata della funzione composta, ma è un argomento che ho studiato da poco e ho molti dubbi. Vorrei quindi capire come applicare la regola.

Soluzione

La derivata di cos(2x) (cioè la derivata del coseno di 2x) è uguale all'opposto del doppio del seno di 2x, ossia la derivata di f(x)=cos(2x) è f'(x)=-2sin(2x), e si calcola con la regola di derivazione di una funzione composta.

(d)/(dx)[cos(2x)] = -2sin(2x)

Calcolo della derivata di cos(2x)

Per calcolare la derivata di cos(2x) consideriamo la funzione

h(x) = cos(2x)

e osserviamo che è una funzione composta, ossia una funzione del tipo

h(x) = g(f(x))

con

f(x) = 2x ; g(y) = cos(y)

Valutando la funzione g(y) con y = f(x) ricaviamo

g(f(x)) = cos(2x)

Per il teorema di derivazione della funzione composta, la derivata della funzione g(f(x)) è data dal prodotto tra la derivata della funzione più esterna, con argomento invariato, e la derivata della funzione interna:

(d)/(dx)[g(f(x))] = g'(f(x))·f'(x)

Nel nostro caso la funzione più interna è

f(x) = 2x

mentre quella esterna è la funzione coseno

g(y) = cos(y)

il cui argomento è

y = f(x) = 2x

Ricordiamo ora che:

• la derivata del coseno è l'opposto del seno

g'(y) = [cos(y)]'= -sin(y)

• la derivata di 2x è uguale a 2

f'(x) = [2x]'= 2

Applicando la formula di derivazione della funzione composta, ricaviamo

(d)/(dx)[cos(2x)] = -sin(2x)·2 = -2sin(2x)

e dunque la derivata del coseno di 2x è uguale a -2sin(2x).

***

Per concludere ti consigliamo di:

- leggere la nostra lezione sul calcolo delle derivate;

- avere sempre ben presenti le derivate fondamentali;

- usare il tool sul calcolo delle derivate online per verificare i risultati degli esercizi.

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