Derivata cos(2x)
Qual è la derivata di cos(2x), ossia la derivata del coseno di 2x? Oltre a scriverne l'espressione potreste dirmi come si calcola, mostrando e spiegando tutti i passaggi che permettono di giungere al risultato?
Il calcolo della derivata di cos 2x viene proposta tra gli esercizi sul calcolo della derivata della funzione composta, ma è un argomento che ho studiato da poco e ho molti dubbi. Vorrei quindi capire come applicare la regola.
La derivata di cos(2x) (cioè la derivata del coseno di 2x) è uguale all'opposto del doppio del seno di 2x, ossia la derivata di f(x)=cos(2x) è f'(x)=-2sin(2x), e si calcola con la regola di derivazione di una funzione composta.
Calcolo della derivata di cos(2x)
Per calcolare la derivata di cos(2x) consideriamo la funzione
e osserviamo che è una funzione composta, ossia una funzione del tipo
con
Valutando la funzione con
ricaviamo
Per il teorema di derivazione della funzione composta, la derivata della funzione g(f(x)) è data dal prodotto tra la derivata della funzione più esterna, con argomento invariato, e la derivata della funzione interna:
Nel nostro caso la funzione più interna è
mentre quella esterna è la funzione coseno
il cui argomento è
Ricordiamo ora che:
• la derivata del coseno è l'opposto del seno
• la derivata di 2x è uguale a 2
Applicando la formula di derivazione della funzione composta, ricaviamo
e dunque la derivata del coseno di 2x è uguale a -2sin(2x).
***
Per concludere ti consigliamo di:
- leggere la nostra lezione sul calcolo delle derivate;
- avere sempre ben presenti le derivate fondamentali;
- usare il tool sul calcolo delle derivate online per verificare i risultati degli esercizi.