Derivata cos(2x)
Qual è la derivata di cos(2x), ossia la derivata del coseno di 2x? Oltre a scriverne l'espressione potreste dirmi come si calcola, mostrando e spiegando tutti i passaggi che permettono di giungere al risultato?
Il calcolo della derivata di cos 2x viene proposta tra gli esercizi sul calcolo della derivata della funzione composta, ma è un argomento che ho studiato da poco e ho molti dubbi. Vorrei quindi capire come applicare la regola.
La derivata di cos(2x) (cioè la derivata del coseno di 2x) è uguale all'opposto del doppio del seno di 2x, ossia la derivata di f(x)=cos(2x) è f'(x)=-2sin(2x), e si calcola con la regola di derivazione di una funzione composta.
![(d)/(dx)[cos(2x)] = -2sin(2x)](/images/joomlatex/b/f/bf8e1447dcb221447c1fff64e1cdb19d.gif)
Calcolo della derivata di cos(2x)
Per calcolare la derivata di cos(2x) consideriamo la funzione
e osserviamo che è una funzione composta, ossia una funzione del tipo
con
Valutando la funzione 
con 
ricaviamo
Per il teorema di derivazione della funzione composta, la derivata della funzione g(f(x)) è data dal prodotto tra la derivata della funzione più esterna, con argomento invariato, e la derivata della funzione interna:
![(d)/(dx)[g(f(x))] = g'(f(x))·f'(x)](/images/joomlatex/d/a/da28abae4ce18cadf1c511807f411c53.gif)
Nel nostro caso la funzione più interna è
mentre quella esterna è la funzione coseno
il cui argomento è
Ricordiamo ora che:
• la derivata del coseno è l'opposto del seno
![g'(y) = [cos(y)]'= -sin(y)](/images/joomlatex/9/0/904aa07a0600b4f8581578e1a7800779.gif)
• la derivata di 2x è uguale a 2
![f'(x) = [2x]'= 2](/images/joomlatex/b/2/b24b9342b4760518d06f1db64c22c101.gif)
Applicando la formula di derivazione della funzione composta, ricaviamo
![(d)/(dx)[cos(2x)] = -sin(2x)·2 = -2sin(2x)](/images/joomlatex/4/0/40ee43bcb0120549f92f6ce9b008fce7.gif)
e dunque la derivata del coseno di 2x è uguale a -2sin(2x).
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Per concludere ti consigliamo di:
- leggere la nostra lezione sul calcolo delle derivate;
- avere sempre ben presenti le derivate fondamentali;
- usare il tool sul calcolo delle derivate online per verificare i risultati degli esercizi.