Soluzioni
  • La derivata di cos(2x), cioè la derivata del coseno di 2x, è uguale a -2sin(2x). Come vedremo tra un istante si calcola con la regola di derivazione di una funzione composta.

    \frac{d}{dx}\left[\cos(2x)\right]=-2\sin(2x)

    Calcolo della derivata di cos(2x)

    Per calcolare la derivata di cos(2x) consideriamo la funzione

    h(x)=\cos(2x)

    e osserviamo che è una funzione composta, ossia una funzione del tipo

    h(x)=g(f(x))

    con

    f(x)=2x \ \ ; \ \ g(y)=\cos(y)

    Valutando la funzione g(y) con y=f(x) ricaviamo

    g(f(x))=\cos(2x)

    Per il teorema di derivazione della funzione composta, la derivata della funzione g(f(x)) è data dal prodotto tra la derivata della funzione più esterna, con argomento invariato, e la derivata della funzione interna:

    \frac{d}{dx}[g(f(x))] = g'(f(x)) \cdot f'(x)

    Nel nostro caso la funzione più interna è

    f(x)=2x

    mentre quella esterna è la funzione coseno

    g(y)=\cos(y)

    il cui argomento è

    y=f(x)=2x

    Ricordiamo ora che:

    • la derivata del coseno è l'opposto del seno

    g'(y)=[\cos(y)]'=-\sin(y)

    • la derivata di 2x è uguale a 2

    f'(x)=[2x]'=2

    Applicando la formula di derivazione della funzione composta, ricaviamo

    \frac{d}{dx}[\cos(2x)] = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)

    e dunque la derivata del coseno di 2x è uguale a -2sin(2x).

    ***

    Per concludere ti consigliamo di:

    - leggere la nostra lezione sul calcolo delle derivate;

    - avere sempre ben presenti le derivate fondamentali;

    - usare il tool sul calcolo delle derivate online per verificare i risultati degli esercizi.

    Risposta di Galois
 
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