Soluzioni
  • I multipli di 60 sono tutti i numeri interi divisibili per 60, ossia tali che il resto della divisione tra ciascuno di essi e 60 è uguale a zero. In modo equivalente i multipli di 60 sono lo zero e tutti i numeri interi, positivi e negativi, che si ottengono moltiplicando 60 per i numeri interi relativi.

    Da ciò è evidente che i multipli di 60 sono infiniti, ma possiamo comunque calcolarne qualcuno:

    - i primi undici multipli di 60 non negativi sono

    0, 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600

    e si ottengono moltiplicando 60 per i numeri naturali compresi tra 0 e 10;

    - i primi dieci multipli negativi di 60 sono

    -60, -120, -180, -240, -300, -360, -420, -480, -540, -600

    e si ricavano moltiplicando 60 per i numeri interi negativi compresi tra -1 e -10.

    Il concetto di multiplo di un numero è un argomento che si affronta più volte durante la carriera scolastica.

    I primi esercizi sui multipli vengono assegnati già alla scuola primaria e al primo anno di scuola media, quando ancora non si conoscono i numeri relativi, ossia quei numeri preceduti dal segno meno o dal segno più, zero incluso.

    Se questo è il tuo caso, non preoccuparti. Per il momento puoi tralasciare i multipli negativi e limitarti a dire che i multipli di 60 sono dati dal prodotto tra 60 e i numeri naturali.

    Come stabilire se un numero è un multiplo di 60

    Per stabilire se un numero è un multiplo di 60 dobbiamo controllare se è divisibile per 60. Se lo è, allora è un suo multiplo; in caso contrario non lo è.

    Per la verifica possiamo affidarci a diversi metodi:

    - usare il criterio di divisibilità per 60;

    - calcolare il quoziente e il resto della divisione tra il numero considerato e 60;

    - analizzare la scomposizione in fattori primi del numero considerato.

    Quale che sia il metodo scelto, se il numero da controllare è negativo consigliamo di considerare il suo opposto.

    Controllo dei multipli di 60 con il criterio di divisibilità

    Il criterio di divisibilità per 60 stabilisce che un numero non nullo è divisibile per 60, e quindi è un suo multiplo, se la sua cifra delle unità è 0 e se il numero che si ottiene eliminando la cifra delle unità è un multiplo di 6.

    Più esplicitamente, un multiplo di 60 è un numero intero che soddisfa le seguenti condizioni:

    - la cifra delle unità è zero;

    - il numero che si ottiene eliminando la cifra delle unità è un numero pari e la somma delle sue cifre è un multiplo di 3.

    Alcuni esempi:

    • 37020 è un multiplo di 60, infatti:

    - la sua cifra delle unità è 0;

    - il numero che si ottiene tralasciando la cifra delle unità (3702) è sia un numero pari che un multiplo di 3, infatti la somma delle sue cifre è divisibile per 3 (3+7+2=12).

    • 6452 non è un multiplo di 60, infatti la sua cifra delle unità non è zero;

    • 26010 non è un multiplo di 60 in quanto, anche se termina per 0, il numero che si ottiene eliminando la cifra delle unità (2601) è dispari;

    • 5120 non è un multiplo di 60; la cifra delle unità è zero e il numero che si ottiene tralasciandola (512) è pari, ma d'altro canto 512 non è un multiplo di 3.

    Controllo dei multipli di 60 con la divisione

    Un altro metodo con cui controllare se un numero è un multiplo di 60 consiste nel dividerlo per 60:

    - se il resto della divisione è zero, allora è un multiplo di 60;

    - se il resto della divisione è diverso da zero, allora non è un multiplo di 60.

    Facciamo un esempio e vediamo quali sono i multipli di 60 tra 120, 250, 300, 440 e 620.

    Calcoliamo i quozienti e i resti delle rispettive divisioni per 60:

    \\ 120:60 = 2 \ \mbox{ resto } 0 \\ \\ 250:60 = 4 \ \mbox{ resto } 10 \\ \\ 300:60 = 5 \ \mbox{ resto } 0 \\ \\ 620:60 = 10 \ \mbox{ resto } 20

    I multipli di 60 tra i numeri considerati sono 120 e 300, perché i resti delle rispettive divisioni per 60 sono nulli.

    Controllo dei multipli di 60 con la scomposizione in fattori primi

    L'ultimo metodo che proponiamo prevede di scomporre in fattori primi il numero considerato e di analizzare i suoi fattori primi.

    Anzitutto osserviamo che la scomposizione in fattori primi del numero 60 è data da

    60 = 2^2 \times 3 \times 5

    di conseguenza un numero è un multiplo di 60 se tra i fattori della sua scomposizione in primi compaiono:

    - un 2 con esponente maggiore o uguale a 2,

    - un 3 con esponente maggiore o uguale a 1, e

    - un 5 con esponente maggiore o uguale a 1.

    In tutti gli altri casi non abbiamo a che fare con un multiplo di 60.

    Per intenderci i seguenti numeri sono multipli di 60:

    \\ 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \\ \\ 600 = 2^3 \times 3 \times 5^2 \\ \\ 2160 = 2^4 \times 3^3 \times 5

    Al contrario, quelli che seguono non sono multipli di 60:

    \\ 70 = 2 \times 5 \times 7 \\ \\ 90 = 2 \times 3^2 \times 5 \\ \\ 450 = 2 \times 3^2 \times 5^2

    ***

    Non abbiamo altro da aggiungere, a parte lasciare un paio di spunti di approfondimento:

    - scomposizione in fattori primi online - un tool con cui verificare i risultati delle scomposizioni;

    - multipli, sottomultipli e divisori - una lezione per i ragazzi di scuola media.

    Risposta di Galois
 
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