Soluzioni
  • L'integrale di x^2 è uguale al cubo di x fratto 3 più una costante arbitraria, e si può calcolare con la definizione di integrale indefinito oppure usando la formula per il calcolo dell'integrale di una potenza.

    \int x^2 dx = \frac{x^3}{3}+c, \ \ \ c \in \mathbb{R}

    Calcolo dell'integrale di x^2 con la definizione

    Calcolare l'integrale indefinito di x^2

    \int x^2 dx

    significa individuare tutte e sole le primitive della funzione integranda y=x^2, ossia cercare una funzione F(x) tale che la sua derivata prima sia uguale alla funzione integranda, e sommarvi una costante arbitraria c che permette di inviduare la famiglia di tutte le possibili primitive della funzione y=x^2.

    \int x^2 dx = F(x)+c \ \ \mbox{ con } F'(x)=x^2

    Uno dei prerequisiti per il calcolo integrale è ricordare le derivate fondamentali, dunque dovremmo sapere che la derivata di x^3 è uguale a 3x^2

    \frac{d}{dx}[x^3] = 3x^2

    Ci siamo quasi! A noi serve una funzione F(x) la cui derivata sia x^2, dunque ci basta dividere x^3 per 3.

    Applicando la regola di derivazione del prodotto di una funzione per una costante ricaviamo:

    \frac{d}{dx}\left[\frac{x^3}{3}\right] = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{dx}[x^3] =\frac{1}{3} \cdot (3x^2) = x^2

    In definitiva, una primitiva di y=x^2 è

    F(x)=\frac{x^3}{3}

    e quindi

    \int x^2 dx =\frac{x^3}{3}+c, \ \ \ c \in \mathbb{R}

    Calcolo dell'integrale di x^2 con gli integrali notevoli

    Consideriamo la funzione potenza

    f(x)=x^2

    che si presenta nella forma

    f(x)=x^n \ \ \mbox{ con } n=2

    In generale l'integrale di x^n è un integrale fondamentale e, se n \neq -1, vale

    \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+c, \ \ c \in \mathbb{R}, \ n \neq -1

    Nel caso in esame n=2, dunque nella precedente formula sostituiamo n con 2

    \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1}+c = \frac{x^3}{3}+c, \ \ \ c \in \mathbb{R}

    Finito! Anche questo procedimento conferma che l'integrale del quadrato di x è uguale al cubo di x fratto 3, più una costante arbitraria.

    ***

    Per concludere, ti consigliamo:

    - di fare un ripasso sugli integrali fondamentali;

    - di usare il tool per gli integrali indefiniti online, con cui puoi verificare il risultato di qualsiasi integrale.

    Risposta di Galois
 
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