Soluzioni
  • Ciao xavier310, ti rispondo subito. Intanto, ne approfitto per dirti che questa è la terza domanda che posti oggi in questa sezione e per regolamento, è anche l'ultima che puoi postare per tutta la giornata di oggi.

    Se hai ulteriori dubbi, puoi aprire una discussione sul forum o aspettare domani e fare altre domande in questa sezione. 


    Risposta di Eka
  • I membri dell'equazione rappresentano la dimensione dei due sottospazi:

    dim S(n) = \frac{n(n+1)}{2}.

    dim A(n) = \frac{n(n-1)}{2}.


    così come: 

    dim M(n) = n^2.


    Epsilon

    Risposta di Eka
  • Ok, ma perché

    dim(S(n))=\frac{n(n+1)}{2}\\ \\ \\ {tex}dim(A(n))=\frac{n(n-1)}{2}\\ \\ \\ dim(M(n))=n^2\ \ \ ?

    Risposta di xavier310
  • Allora, si tratta di contare gli elementi che ogni spazio contiene:

    Iniziamo da S(n):

    Dobbiamo contare tutte le matrici fino alla dimensione n. Sommiamo dunque:

     1+2+3+....+n = \sum_{i=1} ^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} .

    Ora consideriamo le matrici antisimmetriche A(n): possiamo osservare che le matrici antisimmetriche di dimensione 1 non esistono, quindi ci ritroviamo a sommare (n-1) elementi. Come prima: 

    \sum_{i=2} ^{n} i = \sum_{j=1} ^{n-1} j = \frac{(n-1)n}{2}.

    (Nel secondo passaggio ho sostituito i-1=j.)

    Per risolvere le somme, ho usato la famosa regola di Gauss della somma dei primi n numeri naturali! 

    Ti risulta più chiaro, ora?

     

    Epsilon.

     

    Risposta di Eka
 
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