Soluzioni
  • I multipli di 22 sono lo zero e tutti i numeri interi, negativi e positivi, che sono divisibili per 22. Ciò significa che un numero è un multiplo di 22 se è intero e se il resto della divisione tra il numero considerato e 22 è uguale a zero.

    Ad esempio 0 e 44 sono multipli di 22, in quanto

    \\ 0:22 = 0 \ \mbox{ resto } 0 \\ \\ 44:22=2 \ \mbox{ resto } 0

    Al contrario 48 non è un multiplo di 22, infatti

    48:22 = 2 \ \mbox{ resto } 4

    Riguardo al calcolo dei multipli di 22, basta sapere che essi si ottengono moltiplicando 22 per ciascuno dei numeri interi relativi, ossia per ogni numero intero preceduto dal segno meno o dal segno più, zero incluso. Da ciò segue che i multipli di 22 sono infiniti, ma possiamo comunque calcolarne qualcuno:

    - alcuni multipli non negativi di 22 sono:

    0, 22, 44, 66, 88, 110, 132, 154, 176, 198, 220

    e si calcolano moltiplicando 22 per i numeri naturali compresi tra 0 e 10.

    - Alcuni multipli negativi di 22 sono:

    -22, -44, -66, -88, -110, -132, -154, -176, -198, -220

    e si ottengono moltiplicando 22 per i numeri interi negativi compresi tra -1 e -10.

    Come stabilire se un numero è un multiplo di 22

    Per stabilire se un numero è un multiplo di 22 si deve controllare se esso è divisibile per 22: se lo è, allora è un multiplo di 22; in caso contrario non lo è.

    Per svolgere la verifica possiamo affidarci a uno dei seguenti metodi:

    - calcolare il quoziente e il resto della divisione tra il numero e 22;

    - scomporre il numero in fattori primi;

    - usare i criteri di divisibilità.

    Se il numero da controllare è negativo consigliamo di considerare il suo opposto, indipendentemente dal metodo scelto.

    Controllo dei multipli di 22 con la divisione

    Il primo metodo prevede di svolgere la divisione tra il numero e 22, e controllare il resto:

    - se è zero, allora il numero è un multiplo di 22;

    - se è diverso zero, allora il numero non è un multiplo di 22.

    A titolo di esempio cerchiamo di capire quali tra 25, 68, 88, 110 e 244 sono multipli di 22.

    Calcoliamo le rispettive divisioni per 22:

    \\ 25:22 = 1 \ \mbox{ resto } 3 \\ \\ 68:22 = 3 \ \mbox{ resto } 2 \\ \\ 88:22=4 \ \mbox{ resto } 0 \\ \\ 110:22=5 \ \mbox{ resto } 0 \\ \\ 244:22 = 11 \ \mbox{ resto } 2

    Tra i numeri considerati i multipli di 22 sono 88 e 110, perché in entrambi i casi il resto della divisione è nullo.

    Controllo dei multipli di 22 con la scomposizione in fattori primi

    Un altro metodo che permette di stabilire se un numero è un multiplo di 22 è quello di ricorrere alla scomposizione in fattori primi.

    Innanzitutto ricordiamo che

    22 = 2 \times 11

    dunque un numero è un multiplo di 22 se tra i fattori della sua scomposizione in fattori primi compaiono sia 2 che 11.

    Alcuni esempi:

    • 66, 220 e -1694 sono multipli di 22 perché nelle rispettive fattorizzazioni compaiono sia 2 che 11 (al posto di -1694 consideriamo il suo opposto 1694):

    \\ 66= 2 \times 3 \times 11 \\ \\ 220=2^2 \times 5 \times 11 \\ \\ 1694=2 \times 7 \times 11^2

    • 46, 90 e 165 non sono multipli di 22 in quanto nelle loro fattorizzazioni non compaiono sia 2, sia 11:

    \\ 46 = 2 \times 23 \\ \\ 90 = 2 \times 3^2 \times 5 \\ \\ 165=11 \times 5 \times 3

    Controllo dei multipli di 22 con i criteri di divisibilità

    Abbiamo già osservato che 22 è il prodotto tra due numeri primi, 2 e 11:

    22 = 2 \times 11

    Da ciò segue che un numero è divisibile per 22, e quindi è un suo multiplo, se e solo se è divisibile sia per 2 che per 11.

    Dai criteri di divisibilità sappiamo che:

    - un numero è divisibile per 2 se la sua cifra delle unità è 0, 2, 4, 6 oppure 8, ossia se è un numero pari;

    - un numero è divisibile per 11 se il valore assoluto della differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e la somma delle cifre di posto pari è uguale a 0, a 11, oppure a un multiplo di 11.

    In definitiva i multipli di 22 sono tutti e soli i numeri pari tali che il valore assoluto della differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e la somma delle cifre di posto pari è uguale a 0, a 11, o a un multiplo di 11.

    Ecco qualche esempio:

    • 887 non è un multiplo di 22 perché non è un numero pari;

    • 594 è un multiplo di 22, infatti è un numero pari e il valore assoluto della differenza tra la somma delle cifre di posto dispari (5+4=9) e l'unica cifra di posto pari (9) è uguale a zero

    |(5+4)-9| = |9-9| = 0

    • 1246 non è un multiplo di 22, in quanto pur essendo un numero pari non è divisibile per 11. Osserviamo infatti che il valore assoluto della differenza tra la somma delle cifra di posto dispari (1+4=5) e la somma delle cifre di posto pari (2+6=8) è uguale a 3

    |(1+4)-(2+6)| = |5-8| = 3

    ***

    Ci fermiamo qui, ma ti consigliamo di leggere la lezione su multipli, sottomultipli e divisori - click!

    Risposta di Galois
 
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