Derivata di x^3

La derivata di x^3 vale 3x^2, ossia la derivata della funzione f(x)=x^3 è f'(x)=3x^2, e si può calcolare con la formula di derivazione delle potenze oppure usando la definizione di derivata.

Quale che sia il metodo scelto, il risultato è sempre lo stesso: la derivata del cubo di x è uguale a 3x².

Calcolo della derivata di x³

Consideriamo la funzione

che si presenta nella forma

In generale la derivata della funzione potenza è una derivata fondamentale e vale

Nel caso in questione , dunque per calcolare la derivata di x^3 sostituiamo con 3 nella formula

e otteniamo che la derivata di x alla terza è uguale a 3x².

Derivata di x^3 con la definizione

Per calcolare la derivata di una funzione con la definizione, si deve:

• scrivere il rapporto incrementale di in un generico punto del suo dominio

• calcolare il limite del rapporto incrementale per che tende a zero.

In una formula:

Applichiamola per calcolare la derivata di .

Per comodità indichiamo un generico punto del dominio con anziché con , dunque calcoliamo

Sostituiamo l'espressione della funzione

e la sua valutazione in

Ciò che ne risulta è

Sviluppiamo il cubo di binomio

Sommiamo i monomi simili

Raccogliamo a fattor comune

Semplifichiamo

e calcoliamo il limite per sostituzione diretta, ossia sostituiamo con 0

In definitiva, anche con la definizione di derivata abbiamo ottenuto che la derivata del cubo di x è uguale a 3x²

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Per concludere, ti segnaliamo:

- la tabella sulle derivate delle funzioni elementari;

- la lezione sulle regole di derivazione;

- il tool sul calcolo delle derivate online, con cui puoi verificare i risultati delle derivate che calcolerai autonomamente.