Soluzioni
  • La derivata di x^3 è 3x2 e si può calcolare con la formula di derivazione delle potenze oppure usando la definizione di derivata.

    Quale che sia il metodo scelto, il risultato è sempre lo stesso: la derivata del cubo di x è uguale a 3x2.

    \frac{d}{dx}\left[x^3\right] = 3x^2

    Calcolo della derivata di x3

    Consideriamo la funzione

    f(x)=x^3

    che si presenta nella forma

    f(x)=x^n \ \ \mbox{ con } n=3

    In generale la derivata della funzione potenza f(x)=x^n è una derivata fondamentale e vale

    \frac{d}{dx}[x^n] = n \cdot x^{n-1}

    Nel caso in questione n=3, dunque per calcolare la derivata di x^3 sostituiamo n con 3 nella formula

    \frac{d}{dx}[x^3] = 3 \cdot x^{3-1} = 3 \cdot x^2 = 3x^2

    e otteniamo che la derivata di x alla terza è uguale a 3x2.

    Derivata di x^3 con la definizione

    Per calcolare la derivata di una funzione f(x) con la definizione, si deve:

    • scrivere il rapporto incrementale di f(x) in un generico punto x_0 del suo dominio

    \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

    • calcolare il limite del rapporto incrementale per h che tende a zero.

    In una formula:

    \frac{d}{dx}[f(x_0)] = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

    Applichiamola per calcolare la derivata di f(x)=x^3.

    Per comodità indichiamo un generico punto del dominio con x anziché con x_0, dunque calcoliamo

    \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

    Sostituiamo l'espressione della funzione

    f(x)=x^3

    e la sua valutazione in x+h

    f(x+h)=(x+h)^3

    Ciò che ne risulta è

    \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3-x^3}{h}

    Sviluppiamo il cubo di binomio

    \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3-x^3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3}{h}=

    Sommiamo i monomi simili

    = \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}=

    Raccogliamo a fattor comune h

    = \lim_{h \to 0} \frac{h(3x^2+3xh+h^2)}{h}=

    Semplifichiamo

    = \lim_{h \to 0} (3x^2+3xh+h^2)=

    e calcoliamo il limite per sostituzione diretta, ossia sostituiamo h con 0

    = 3x^2+3x \cdot 0 + 0^2 = 3x^2

    In definitiva, anche con la definizione di derivata abbiamo ottenuto che la derivata del cubo di x è uguale a 3x2

    \frac{d}{dx}\left[x^3\right] = 3x^2

    ***

    Per concludere, ti segnaliamo:

    - la tabella sulle derivate delle funzioni elementari;

    - la lezione sulle regole di derivazione;

    - il tool sul calcolo delle derivate online, con cui puoi verificare i risultati delle derivate che calcolerai autonomamente.

    Risposta di Galois
 
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