Soluzioni
  • I multipli di 19 sono tutti e soli i numeri interi divisibili per 19. In altri termini un multiplo di 19 può essere negativo, positivo o nullo, purché esso sia divisibile per 19, vale a dire che la divisione tra il numero considerato e 19 deve avere resto uguale a zero.

    In modo del tutto equivalente possiamo dire che i multipli di 19 si calcolano moltiplicando 19 per ciascuno dei numeri interi relativi, che sono lo zero e i numeri interi con segno più o con segno meno. Da ciò segue che i multipli di 19 sono infiniti, dunque limitiamoci a calcolarne qualcuno.

    I primi dieci multipli positivi di 19 si ottengono moltiplicando 19 per i numeri naturali compresi tra 1 e 10, e sono

    19, 38, 57, 76, 95, 114, 133, 152, 171, 190

    Viceversa i primi dieci multipli negativi di 19 si calcolano moltiplicando 19 per i numeri interi compresi tra -1 e -10:

    -19, -38, -57, -76, -95, -114, -133, -152, -171, -190

    Anche zero è un multiplo di 19, infatti moltiplicando 19 per 0 il risultato è 0.

    Come stabilire se un numero è un multiplo di 19

    Per controllare se un numero è un multiplo di 19 si deve verificare se esso è divisibile per 19. In caso affermativo il numero considerato è un multiplo di 19; in caso contrario, non lo è.

    A tal proposito possiamo usare diversi metodi, e in particolare:

    - scomporre il numero in fattori primi;

    - calcolare il quoziente e il resto della divisione tra il numero e 19;

    - servirci del criterio di divisibilità per 19.

    In tutti e tre i casi, se il numero da controllare è negativo consigliamo di considerare il suo opposto.

    Controllo dei multipli di 19 con la scomposizione in fattori primi

    19 è un numero primo, dunque un numero è un multiplo di 19 se nella sua scomposizione in fattori primi compare il numero 19.

    Ad esempio 57 e 152 sono multipli di 19, in quanto

    \\ 57 = 3 \times 19 \\ \\ 152 = 2^3 \times 19

    Al contrario 78 e 153 non sono multipli di 19, infatti nelle loro scomposizioni in primi non compare 19

    \\ 78 = 2 \times 3 \times 13 \\ \\ 153=3^2 \times 17

    Controllo dei multipli di 19 con la divisione

    Un metodo alternativo per controllare se un numero è un multiplo di 19 consiste nel dividerlo per 19:

    - se il resto della divisione è zero, allora è un multiplo di 19;

    - se il resto della divisione è diverso da zero, allora non è un multiplo di 19.

    Facciamo un esempio e stabiliamo quali tra 76, 123, 171 e 213 sono multipli di 19.

    Calcoliamo le rispettive divisioni:

    \\ 76:19 = 4 \ \mbox{ resto } 0 \\ \\ 123 : 19 = 6 \ \mbox{ resto } 9 \\ \\ 171:19 = 9 \ \mbox{ resto } 0 \\ \\ 213:19 = 11 \ \mbox{ resto } 4

    I multipli di 19 tra i numeri considerati sono 76 e 171, perché i resti delle rispettive divisioni per 19 sono nulli.

    Controllo dei multipli di 19 con i criteri di divisibilità

    Il criterio di divisibilità per 19 stabilisce che un numero è divisibile per 19, e quindi è un suo multiplo, se e solo se la somma tra il numero scritto senza la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è uguale a 19 oppure a un multiplo di 19.

    Se dopo aver applicato il criterio di divisibilità si ottiene un numero grande, per cui non si riesce a dire se è un multiplo di 19, si può riapplicare il criterio al numero ottenuto.

    A titolo di esempio stabiliamo se 1235 è un multiplo di 19.

    La sua cifra delle unità è 5. Calcoliamone il doppio

    2 \times 5 = 10

    e sommiamolo al numero scritto senza la cifra delle unità, che è 123

    123+10=133

    A questo punto reiteriamo il procedimento e applichiamolo al numero 133, la cui cifra delle unità è 3.

    Il numero scritto senza la cifra delle unità è 13, mentre il doppio della cifra delle unità è uguale a 6 (2×3=6).

    La loro somma è uguale a 19 (13+6=19), pertanto 1235 è un multiplo di 19.

    ***

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    Risposta di Galois
 
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