Soluzioni
  • Ciao xavier310,

    ora ti rispondo!

    Risposta di Eka
  • Allora:

    Perchè l'unione di due sottospazi non è un sottospazio?

    Perchè un sottospazio deve soddisfare determinate proprietà, ad esempio deve essere chiuso rispetto all'operazione di somma e rispetto al prodotto per scalari. L'unione di due sottospazi, non garantisce che questa cosa avvenga.

    Per farti capire, facciamo questo esempio molto semplice ma molto intuitivo:

    Consideriamo due sottospazi V e W che corrispondono rispettivamente alla retta delle x e alla retta delle y.
    Ognuno di questi due è chiaramente un sottospazio (sono Span(e1) e Span(e2)), ma la loro unione non costituisce un sottospazio.

    Proviamo infatti a vedere dove sta la somma di due vettori v e w, dove v appartiene a V e w appartiene a W.

    v=e_1 \in V = Span \{e_1 \}

    w=e_2 \in W = Span \{e_2 \}

    v+w=e_1 + e_2 \not\in V\cup W = Span \{e_1 \} \cup Span \{e_2 \}


    Infatti: 

    v+w \in V\oplus W = Span \{e_1, e_2 \} \noteq V\cup W .


    Potete farmi qualche esempio della formula di Grassmann?

    Prendiamo lo spazio vettoriale V=\mathbb{R}^4 e i due sottospazi W e U, definiti da:

    W = Span \{e_1,e_2, e_3\}

    U = Span \{e_3, e_4\}

    Come possiamo facilmente vedere la dimensione di V è 4, la dimensione di W è 3 e la dimensione di U è 2.

    Notiamo però che U e W hanno un vettore in comune: e3.

    La dimensione di W\cap U = Span \{e_3\} è quindi 1.

    Allora, la formula di Grassmann ci dice proprio che:


    dim V = 4 = dim W + dimV - dim (W\cap U) = 3+2-1= 4.


    Ti è chiaro questo esempio?


    Epsilon.

    Risposta di Eka
  • Sei un grande Laughing grazie mille!

    Risposta di xavier310
 
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