L'unione di due sottospazi è un sottospazio o no?

Allora:

Perchè l'unione di due sottospazi non è un sottospazio?

Perchè un sottospazio deve soddisfare determinate proprietà, ad esempio deve essere chiuso rispetto all'operazione di somma e rispetto al prodotto per scalari. L'unione di due sottospazi, non garantisce che questa cosa avvenga.

Per farti capire, facciamo questo esempio molto semplice ma molto intuitivo:

Consideriamo due sottospazi V e W che corrispondono rispettivamente alla retta delle x e alla retta delle y.
Ognuno di questi due è chiaramente un sottospazio (sono Span(e₁) e Span(e₂)), ma la loro unione non costituisce un sottospazio.

Proviamo infatti a vedere dove sta la somma di due vettori v e w, dove v appartiene a V e w appartiene a W.

Infatti: 

.

Potete farmi qualche esempio della formula di Grassmann?

Prendiamo lo spazio vettoriale e i due sottospazi W e U, definiti da:

Come possiamo facilmente vedere la dimensione di V è 4, la dimensione di W è 3 e la dimensione di U è 2.

Notiamo però che U e W hanno un vettore in comune: e3.

La dimensione di è quindi 1.

Allora, la formula di Grassmann ci dice proprio che:

.

Ti è chiaro questo esempio?

Epsilon.