Soluzioni
  • La derivata di x/2 è 1/2 e si può calcolare in due modi: usando la definizione di derivata oppure con la regola di derivazione del prodotto di una funzione per una costante.

    Quale che sia il metodo scelto, il risultato è sempre lo stesso: la derivata di x/2 è uguale a 1/2.

    \frac{d}{dx}\left[\frac{x}{2}\right]=\frac{1}{2}

    Calcolo della derivata di x/2

    Per calcolare la derivata di x/2 consideriamo la funzione

    f(x)=\frac{x}{2}

    e riscriviamola come prodotto tra la costante \frac{1}{2} e la funzione identica g(x)=x

    f(x)=\frac{x}{2} = \frac{1}{2} \cdot x

    A questo punto usiamo la regola di derivazione del prodotto di una funzione per una costante, secondo cui la derivata del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione. In una formula:

    \frac{d}{dx}\left[c \cdot g(x)\right]=c \cdot \frac{d}{dx}\left[g(x)\right]

    Nel nostro caso

    c=\frac{1}{2} \ \ ; \ \ g(x)=x

    dunque sostituendo nella formula precedente otteniamo

    \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2} \cdot x\right]=\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}\left[x\right] =

    la derivata di x è uguale a 1

    =\frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}

    Abbiamo così ottenuto che la derivata di x/2 è uguale a 1/2

    \frac{d}{dx}\left[\frac{x}{2}\right] = \frac{1}{2}

    Derivata di x/2 con la definizione

    In generale, per calcolare la derivata di una funzione f(x) con la definizione si deve:

    • scrivere il rapporto incrementale della funzione f(x) in un generico punto x_0 appartenente al suo dominio

    \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

    • calcolare il limite del rapporto incrementale per h che tende a zero.

    Più semplicemente, basta ricordare la seguente formula:

    \frac{d}{dx}[f(x)] = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

    Applichiamola per calcolare la derivata della funzione f(x)=\frac{x}{2}.

    Per comodità indichiamo il generico punto del dominio con x anziché x_0, dunque calcoliamo

    \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

    Sostituiamo l'espressione della funzione

    f(x)=\frac{x}{2}

    e la sua valutazione in x+h

    f(x+h)=\frac{x+h}{2}

    e otteniamo

    \lim_{h \to 0} \frac{\frac{x+h}{2}-\frac{x}{2}}{h}

    Calcoliamolo!

    Nel numeratore scriviamo la prima frazione come somma tra frazioni

    \lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{2}+\frac{h}{2}-\frac{x}{2}}{h}=

    e semplifichiamo

    =\lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{2}}{h}=\lim_{h \to 0} \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}

    In definitiva anche il calcolo della derivata di x/2 con la definizione ci ha portato a concludere che la derivata di x/2 è uguale a 1/2

    \frac{d}{dx}\left[\frac{x}{2}\right] = \frac{1}{2}

    ***

    È tutto! Se sei alle prime armi con il calcolo delle derivate, ti conviene:

    - avere ben presenti le derivate fondamentali;

    - usare il tool sul calcolo delle derivate online per verificare i risultati degli esercizi che svolgi in autonomia. ;)

    Risposta di Galois
 
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