Derivata di x/2

Autore: Giuseppe Carichino (Galois) -
Ultimo aggiornamento:

Qual è la derivata di x/2? Oltre a scrivere il risultato potreste spiegarmi come si calcola la derivata di x fratto 2, con e senza definizione?

Più esplicitamente vorrei sapere come si calcola la derivata di x/2 con la definizione di derivata e applicando le regole di derivazione. Sono argomenti che abbiamo studiato da poco, quindi vi chiedo una spiegazione che sia semplice e dettagliata. Grazie!

Soluzione

La derivata di x/2 vale 1/2, ossia la derivata di f(x)=x/2 è f'(x)=1/2, e si può calcolare in due modi: usando la definizione di derivata, oppure applicando la regola di derivazione del prodotto di una funzione per una costante.

Quale che sia il metodo scelto, il risultato è sempre lo stesso: la derivata di x/2 è uguale a 1/2.

(d)/(dx)[(x)/(2)] = (1)/(2)

Calcolo della derivata di x/2

Per calcolare la derivata di x/2 consideriamo la funzione

f(x) = (x)/(2)

e riscriviamola come prodotto tra la costante (1)/(2) e la funzione identica g(x) = x

f(x) = (x)/(2) = (1)/(2)·x

A questo punto usiamo la regola di derivazione del prodotto di una funzione per una costante, secondo cui la derivata del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione. In una formula:

(d)/(dx)[c·g(x)] = c·(d)/(dx)[g(x)]

Nel nostro caso

c = (1)/(2) ; g(x) = x

dunque sostituendo nella formula precedente otteniamo

(d)/(dx)[(1)/(2)·x] = (1)/(2)·(d)/(dx)[x] =

la derivata di x è uguale a 1

= (1)/(2)·1 = (1)/(2)

Abbiamo così ottenuto che la derivata di x/2 è uguale a 1/2

(d)/(dx)[(x)/(2)] = (1)/(2)

Derivata di x/2 con la definizione

In generale, per calcolare la derivata di una funzione f(x) con la definizione si deve:

• scrivere il rapporto incrementale della funzione f(x) in un generico punto x_0 appartenente al suo dominio

(Δ y)/(Δ x) = (f(x_0+h)−f(x_0))/(h)

• calcolare il limite del rapporto incrementale per h che tende a zero.

In sintesi, la definizione di derivata è data dalla seguente formula:

f'(x_0) = lim_(h → 0) (f(x_0+h)−f(x_0))/(h)

Applichiamola per calcolare la derivata della funzione f(x) = (x)/(2).

Per comodità indichiamo il generico punto del dominio con x anziché x_0, dunque calcoliamo

lim_(h → 0) (f(x+h)−f(x))/(h)

Sostituiamo l'espressione della funzione

f(x) = (x)/(2)

e la sua valutazione in x+h

f(x+h) = (x+h)/(2)

e otteniamo

lim_(h → 0) ((x+h)/(2)−(x)/(2))/(h)

Calcoliamolo!

Nel numeratore scriviamo la prima frazione come somma tra frazioni

lim_(h → 0) ((x)/(2)+(h)/(2)−(x)/(2))/(h) =

e semplifichiamo

= lim_(h → 0) ((h)/(2))/(h) = lim_(h → 0) ((1)/(2)) = (1)/(2)

In definitiva anche il calcolo della derivata di x/2 con la definizione ci ha portato a concludere che la derivata di x/2 è uguale a 1/2

(d)/(dx)[(x)/(2)] = (1)/(2)

***

È tutto! Se sei alle prime armi con il calcolo delle derivate, ti conviene:

- avere ben presenti le derivate fondamentali;

- usare il tool sul calcolo delle derivate online per verificare i risultati degli esercizi che svolgi in autonomia. ;)

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