Soluzioni
  • Ciao Giulialg88, ora rispondo, non preoccuparti se ci metto un po' di tempo...la domanda è piuttosto ampia

    Risposta di Eka
  • Procediamo con ordine:

    1) La relazione binaria si definisce tra insiemi; quindi, siano A e B due insiemi, diciamo che l'insieme R è una relazione binaria tra X e Y, se R è un sottoinsieme del prodotto cartesiano X x Y.

     

    Questa scrittura è abbastanza criptica, vero? In realtà significa che una relazione binaria è una collezione di coppie ordinate dove un elemento della coppia appartiene a X e un altro elemento appartiene  Y.

     

    Il prodotto cartesiano tra X e Y è definito in questo modo

     

    X\times Y=\{(x,y)\colon x\in X\wedge y\in Y\}

     

    in sostanza, il prodotto cartesiano è la collezione di tutte le coppie ordinate ad elementi, rispettivamente, in X e Y.

     

    Capisci che questo tipo di relazione è estremamente generale. Un esempio di relazione binaria è ≤, dove due elementi stanno in relazione se x≤y. In particolare questa relazione, che è una relazione binaria gode di particolari proprietà, che vedremo parlando di relazioni d'ordine e di ordine totale.

     

    2) Una relazione d'ordine è una relazione binaria R sull'insieme A, quindi sottoinsieme di A x A, tale da godere delle seguenti proprietà:

     

    1. Riflessiva:

    se x appartiene ad A, allora xRx

    2. Antisimmetrica

    se x,y appartengono ad A e xRy e yRx, allora x=y.

    3. Transitiva

    se x,y,z appartengono ad A e xRy, yRx, allora xRz.

     

    Un esempio è dato da ≤ sull'insieme dei naturali, infatti siano

     

    m,n\in\mathbb{N}

    La relazione prende valori in

     

    \mathbb{N}\times\mathbb{N}

     

    Inoltre è riflessiva:

    m\leq m

     

    è antisimmetrica: se

    m\leq n

    e

    n\leq m

     

    allora

    n=m

     

    Infine considerando un terzo numero naturale p, si ha che se

     

    m\leq n \wedge n\leq p

     

    allora

     

    m\leq p

     

    dunque la relazione è anche transitiva.

     

    3) Una relazione d'ordine si dice di ordine totale se, oltre a godere di tutte le proprietà di una relazione d'ordine, (come abbiamo detto prima riflessività, antisimmetria, transitività), è anche totale, cioè, mantenendo la notazione che abbiamo usato prima, si ha, per x,y in A che 

     

    xRy oppure yRx

     

    Si vede subito che la relazione d'ordine ≤ che abbiamo usato come esempio nel punto precedente è anche totale.

     

    Per ogni dubbio chiedi pure!

     

    Risposta di Eka
  • solo l'ultimo punto non mi è chiaro, ma 

    xRy oppure yRx non era la proprietà antisimmetrica???

     

    Risposta di Giulialg88
  • Scriviamo le due proprietà con i giusti connettivi logici, anche se l'esperta di logica è Epsilon, ma al momento è impegnata Wink

     

    La proprietà antisimmetrica si può scrivere così

     

    x\leq y \wedge y\leq x \Longrightarrow x=y

     

    cioè solo uno dei due casi è verificabile.

     

    mentre la totalità si scrive come

     

    x\leq y \vee y\leq x

     

    Come vedi le proprietà sono diverse, la totalità esprime la confrontabilità di ogni coppia, cioè data una coppia (x,y), sarà sempre possibile confrontare x e y mediante la relazione. Mentre l'antisimmetria dice che per ogni coppia fissata (x,y), la relazione è univoca. 

    Risposta di Alpha
  • grazie 1000 Laughing

    Risposta di Giulialg88
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