Carattere e somma di una serie forse telescopica

La serie che proponi converge sicuramente, te la cavi agilmente con il criterio del rapporto.

Inoltre, la somma della serie vale 1/2. Questo perchè ti basta ragionare come segue.

Scriviamola nella forma

Σ[(n+2)/(n(n+1)*2^(n+1))] = Σ   [1/2^(n+1)]    [(n+2) / n(n+1)]

Ora prendiamo il termine [(n+2) / n(n+1)], e cerchiamo di scriverlo come differenza di due termini, in modo da poterla vedere, come giustamente hai intuito, come una somma telescopica:

Consideriamo il seguente trucchetto (simile a quello che si utilizza nell'integrazione di funzioni razionali)

A/n + B/(n+1) =   [ A(n+1)+Bn ] / n(n+1) = [ An + A + Bn ] / n(n+1) = (A+B)n + A / n(n+1)

Vogliamo che questa espressione coincida con il termine della serie, quindi imponiamo

A+B=1 e A=2. Troviamo così A=2, B=-1 e la serie iniziale si può riscrivere come

Σ   [1/2^(n+1)]    [2/n   -     1/(n+1)]

Ci siamo! Sviluppiamo i termini della serie fissandoci su una somma parziale, diciamo per n che va da 1 a m:

Σ   [1/2^(n+1)]    [2/n   -     1/(n+1)] = 1/2 -1/8 + 1/8 - 1/24 + .... + a_m

È evidente che a_m tende a zero per m →+∞, e i termini di mezzo si annullano. Abbiamo finito

Namasté - Agente Ω