Soluzioni
  • La scrittura sin(3x), o la sua forma equivalente sen(3x), rappresenta il seno di 3x ed è uguale alla differenza tra il triplo del seno di x e il quadruplo del cubo del seno di x:

    \sin(3x)=3\sin(x)-4\sin^3(x)

    La formula del seno di 3x prende il nome di formula di triplicazione del seno e si ricava facilmente dalla formula di addizione del seno, dalle formule di duplicazione di seno e coseno e dall'identità fondamentale della Trigonometria.

    Per questo motivo la formula di triplicazione del seno non rientra tra quelle che si studiano alle scuole superiori e non è necessario impararla a memoria.

    Dimostrazione della formula del sen(3x)

    Per dimostrare la formula del sin(3x) scriviamo l'argomento del seno come somma

    \sin(3x)=\sin(2x+x)=

    e applichiamo la formula di addizione del seno

    =\sin(2x)\cos(x)+\cos(2x)\sin(x)=(\bullet)

    Per le formule di duplicazione:

    - il seno di 2x è uguale al doppio prodotto tra il seno di x e il coseno di x

    \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)

    - il coseno di 2x è uguale alla differenza tra il quadrato del coseno di x e il quadrato del seno di x

    \cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)

    di conseguenza

    (\bullet) = \left[2\sin(x)\cos(x)\right]\cos(x) + \left[\cos^2(x)-\sin^2(x)\right]\sin(x)=

    Moltiplichiamo

    =2\sin(x)\cos^2(x)+\sin(x)\cos^2(x)-\sin^3(x)=

    e sommiamo i termini simili

    =3\sin(x)\cos^2(x)-\sin^3(x)=

    Applichiamo la proprietà fondamentale della Trigonometria e sostituiamo \cos^2(x)

    =3\sin(x)\left[1-\sin^2(x)\right]-\sin^3(x)=

    Svolgiamo il prodotto

    =3\sin(x)-3\sin^3(x)-\sin^3(x)=

    e sommiamo

    =3\sin(x)-4\sin^3(x)

    Abbiamo così dimostrato la formula di triplicazione del seno:

    \sin(3x)=3\sin(x)-4\sin^3(x)

    ***

    Se vuoi vedere come si sviluppa il coseno di 3x puoi consultare la pagina del link, se invece vuoi fare un ripasso delle principali formule goniometriche - click!

    Risposta di Galois
 
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