Soluzioni
  • Per trovare la forma algebrica del numero complesso i^{i}, con i unità immaginaria, procediamo in questo modo.

    Per prima cosa scriviamo la rappresentazione esponenziale di i calcolandone modulo e argomento:

    - il modulo di i, per definizione, è la radice quadrata della somma tra il quadrato della sua parte reale e il quadrato della sua parte immaginaria

    |i|=\sqrt{(\mbox{Re}(i))^2+(\mbox{Im}(i))^2}=\sqrt{0+1}=1

    - l'argomento (riferito all'intervallo [-\pi,\pi)) è l'unico angolo \theta\in [-\pi,\pi) che soddisfa il seguente sistema

    \begin{cases}\cos(\theta)=\dfrac{\mbox{Re}(i)}{|i|}\\ \\ \sin(\theta)=\dfrac{\mbox{Im}(i)}{|i|}\end{cases}

    vale a dire

    \begin{cases}\cos(\theta)=0\\ \\ \sin(\theta)=1\end{cases} \ \ \ \to \ \ \ \theta=\frac{\pi}{2}

    La forma esponenziale di i è quindi

    i=e^{i\cdot\tfrac{\pi}{2}}

    Elevando a i i due membri ricaviamo l'uguaglianza

    i^i=(e^{i\cdot\tfrac{\pi}{2}})^{i}=e^{i\cdot i\cdot\frac{\pi}{2}}=e^{-\frac{\pi}{2}}

    Il valore principale del numero complesso i^i è in realtà il numero reale e^{-\frac{\pi}{2}}.

    Osservazione (Multivocità della funzione potenza)

    Va specificato che la potenza complessa è una funzione multivoca (o funzione polidroma) ed è definita mediante l'esponenziale e il logaritmo complessi, vale a dire

    w^{z}=e^{z\log_{\mathbb{C}}(w)}

    con

    \log_{\mathbb{C}}(w)=\ln(|w|)+i(\mbox{Arg}(w)+2k\pi) \ \ \ \forall k\in\mathbb{Z}

    Alla luce di ciò

    \\ i^{i}=e^{i\log_{\mathbb{C}}(i)}=e^{i\left(\ln(|i|)+i\left(\mbox{Arg}(i)+2k\pi\right)\right)}= \\ \\ =e^{i\left(\ln(1)+i\left(\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\right)\right)}=

    Poiché il logaritmo naturale di 1 è 0, e poiché il quadrato di i è -1, la precedente espressione diventa

    =e^{-\tfrac{\pi}{2}-2k\pi} \ \ \ \forall k\in\mathbb{Z}

    Se non teniamo conto del taglio principale del logaritmo, allora i^{i} individua un insieme numerabile di numeri reali

    \\ i^{i}=\left\{e^{-\tfrac{\pi}{2}-2k\pi},k\in\mathbb{Z}\right\}=\\ \\ =\left\{..., e^{-\tfrac{9\pi}{2}}, e^{-\tfrac{5\pi}{2}}, e^{-\tfrac{\pi}{2}}, e^{\tfrac{3\pi}{2}}, e^{\tfrac{7\pi}{2}},...\right\}

    È fatta!

    Risposta di Galois
 
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