Forma algebrica del numero complesso i^i

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Mi viene chiesto di trovare la forma algebrica del valore principale della potenza ii. Sinceramente non ho proprio idea di come trattare questo numero.

 

Trovare la forma algebrica della valore principale della potenza i^i.

 

Nota: Arg(z)∈[-π,π).

Domanda di piis

 
Soluzioni

  • Per trovare la forma algebrica del numero complesso i^(i), con i unità immaginaria, procediamo in questo modo.

    Per prima cosa scriviamo la rappresentazione esponenziale di i calcolandone modulo e argomento:

    - il modulo di i, per definizione, è la radice quadrata della somma tra il quadrato della sua parte reale e il quadrato della sua parte immaginaria

    |i| = √((Re(i))^2+(Im(i))^2) = √(0+1) = 1

    - l'argomento (riferito all'intervallo [-π,π)) è l'unico angolo θ∈ [-π,π) che soddisfa il seguente sistema

    cos(θ) = (Re(i))/(|i|) ; sin(θ) = (Im(i))/(|i|)

    vale a dire

    cos(θ) = 0 ; sin(θ) = 1 → θ = (π)/(2)

    La forma esponenziale di i è quindi

    i = e^(i·(π)/(2))

    Elevando a i i due membri ricaviamo l'uguaglianza

    i^i = (e^(i·(π)/(2)))^(i) = e^(i·i·(π)/(2)) = e^(-(π)/(2))

    Il valore principale del numero complesso i^i è in realtà il numero reale e^(-(π)/(2)).

    Osservazione (Multivocità della funzione potenza)

    Va specificato che la potenza complessa è una funzione multivoca (o funzione polidroma) ed è definita mediante l'esponenziale e il logaritmo complessi, vale a dire

    w^(z) = e^(zlog_(C)(w))

    con

    log_(C)(w) = ln(|w|)+i(Arg(w)+2kπ) ∀ k∈Z

    Alla luce di ciò

    i^(i) = e^(ilog_(C)(i)) = e^(i(ln(|i|)+i(Arg(i)+2kπ))) = e^(i(ln(1)+i((π)/(2)+2kπ))) =

    Poiché il logaritmo naturale di 1 è 0, e poiché il quadrato di i è -1, la precedente espressione diventa

    = e^(-(π)/(2)-2kπ) ∀ k∈Z

    Se non teniamo conto del taglio principale del logaritmo, allora i^(i) individua un insieme numerabile di numeri reali

    i^(i) = e^(-(π)/(2)-2kπ),k∈Z = ..., e^(-(9π)/(2)), e^(-(5π)/(2)), e^(-(π)/(2)), e^((3π)/(2)), e^((7π)/(2)),...

    È fatta!

    Risposta di Galois
 
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