Soluzioni
  • cos(3x) indica il coseno di 3x e si può esprimere in termini di cos(x). In particolare cos(3x) è uguale alla differenza tra il quadruplo del cubo del coseno di x e il triplo del coseno di x:

    \cos(3x)=4 \cos^3(x)-3\cos(x)

    La formula del coseno di 3x prende il nome di formula di triplicazione del coseno, ma non rientra tra le formule goniometriche che si studiano alle scuole superiori.

    Come vedremo tra poco la precedente relazione si può ricavare facilmente, per cui non è necessario impararla a memoria. Per procedere basta ricordare la formula di addizione del coseno e le formule di duplicazione di seno e coseno.

    Dimostrazione della formula del cos(3x)

    Per dimostrare la formula del cos(3x) scriviamo l'argomento del coseno come somma

    \cos(3x)=\cos(x+2x)=

    e applichiamo la formula di addizione del coseno

    =\cos(x)\cos(2x)-\sin(x)\sin(2x)=(\bullet)

    Per le formule di duplicazione:

    - il coseno di 2x è uguale alla differenza tra il quadrato del coseno di x e il quadrato del seno di x

    \cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)

    - il seno di 2x è uguale a due volte il prodotto tra il seno di x e il coseno di x

    \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)

    quindi

    (\bullet)=\cos(x)\left[\cos^2(x)-\sin^2(x)\right] - \sin(x)\left[2\sin(x)\cos(x)\right] =

    calcoliamo i prodotti

    = \cos^3(x) - \sin^2(x)\cos(x) - 2\sin^2(x)\cos(x)=

    sommiamo i termini simili

    = \cos^3(x) - 3\sin^2(x)\cos(x)=

    Per la proprietà fondamentale della Trigonometria

    =\cos^3(x)-3\left[1-\cos^2(x)\right]\cos(x)=

    moltiplichiamo e semplifichiamo

    \\ =\cos^3(x)-3\cos(x)+3\cos^3(x)= \\ \\ = 4\cos^3(x)-3\cos(x)

    Abbiamo così dimostrato la formula di triplicazione del coseno

    \cos(3x)=4 \cos^3(x)-3\cos(x)

    ***

    Se vuoi approfondire, puoi leggere:

    - seno di 3x

    - un riassunto delle più importanti formule trigonometriche - click!

    Risposta di Galois
 
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