cos(3x)
Quanto vale cos(3x)? Devo verificare un'identità goniometrica in cui compare il coseno di 3x ma non so cosa fare. Esiste un modo per esprimere cos(3x) in termini di cos(x)? Qualora esistesse, potreste mostrarmi come fare?
cos(3x) indica il coseno di 3x e si può esprimere in termini di cos(x). In particolare cos(3x) è uguale alla differenza tra il quadruplo del cubo del coseno di x e il triplo del coseno di x:
La formula del coseno di 3x prende il nome di formula di triplicazione del coseno, ma non rientra tra le formule goniometriche che si studiano alle scuole superiori.
Come vedremo tra poco la precedente relazione si può ricavare facilmente, per cui non è necessario impararla a memoria. Per procedere basta ricordare la formula di addizione del coseno e le formule di duplicazione di seno e coseno.
Dimostrazione della formula del cos(3x)
Per dimostrare la formula del cos(3x) scriviamo l'argomento del coseno come somma
e applichiamo la formula di addizione del coseno
Per le formule di duplicazione:
- il coseno di 2x è uguale alla differenza tra il quadrato del coseno di x e il quadrato del seno di x
- il seno di 2x è uguale a due volte il prodotto tra il seno di x e il coseno di x
quindi
![(•) = cos(x)[cos^2(x)-sin^2(x)]-sin(x)[2sin(x)cos(x)] =](/images/joomlatex/a/c/acc431c4f483c6289e90bb5e8fa5f603.gif)
calcoliamo i prodotti
sommiamo i termini simili
Per la proprietà fondamentale della Trigonometria
![= cos^3(x)-3[1-cos^2(x)]cos(x) =](/images/joomlatex/f/2/f29eca601b4c050cb647a7c4c3b9c89e.gif)
moltiplichiamo e semplifichiamo
Abbiamo così dimostrato la formula di triplicazione del coseno
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