Ciao povi, immagino che con teorema Ponte tu ti riferisca a questo:
Sia
una funzione a valori reali e sia 
un valore reale o infinito. Allora
se e solo se per ogni successione xn→x0 nell'insieme A e tale che xn≠x0, si ha che
.E' a questo che ti riferisci? Se sì, ne vediamo subito la dimostrazione.
Si è questo ma non ne capisco il senso...
Va bene, cerchiamo di capire.
Prima di tutto sai che quando c'è di mezzo un "se e solo se" significa che valgono due implicazioni.
Se la funzione ha limite L per x tendente a x0, le immagini tramite f di ogni successione nell'insieme di definizione (A) che tendono a x0, sono tali da convergere a L.
Perché è vero?
Per definizione di limite si ha che se
allora
Inoltre, siccome consideriamo
da un certo n in avanti la successione vive in un intorno di raggio ε di x0. Quindi proprio per definizione di limite si ha che
Per quanto riguarda l'altra implicazione, supponiamo per assurdo che non sia vera, cioè supponiamo di trovare la successione xn richiesta dal teorema, ma che
Abbiamo negato che f(x) abbia limite L, questo equivale a scrivere:
Scegliamo
poniamo
.La successione appena definita soddisfa le ipotesi del teorema, ma al contempo
che è assurdo!
Quindi questa è una dimostrazione, piuttosto rapida, del teorema Ponte.
Il suo scopo ti è più chiaro ora? Il punto è rendere chiaro il legame tra teoria dei limiti di funzioni e di successioni, in sostanza ti permette di individuare una corrispondenza tra la teoria dei limiti sul continuo reale, e le successioni, che pure sono definite in R, ma sono indicizzate con numeri naturali.
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