Soluzioni
  • Ciao povi, immagino che con teorema Ponte tu ti riferisca a questo:

    Sia f:A\to\mathbb{R} una funzione a valori reali e sia L\in\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\} un valore reale o infinito. Allora

    f(x)\to L \mbox{ per }x\to x_0

    se e solo se per ogni successione xn→x0 nell'insieme A e tale che xn≠x0, si ha che

    f(x_n)\to L\mbox{ per }n\to\infty.

    E' a questo che ti riferisci? Se sì, ne vediamo subito la dimostrazione.

    Risposta di Alpha
  • Si è questo ma non ne capisco il senso...

    Risposta di povi
  • Va bene, cerchiamo di capire. Wink

    Prima di tutto sai che quando c'è di mezzo un "se e solo se" significa che valgono due implicazioni.

    Se la funzione ha limite L per x tendente a x0, le immagini tramite f di ogni successione nell'insieme di definizione (A) che tendono a x0, sono tali da convergere a L.

    Perché è vero?

    Per definizione di limite si ha che se

    x\in B_{\delta=\delta(\varepsilon)}(x_0)

    allora

    f(x)\in B_{\varepsilon}(L)

    Inoltre, siccome consideriamo

    x_n\to x_0

    da un certo n in avanti la successione vive in un intorno di raggio ε di x0. Quindi proprio per definizione di limite si ha che

    f(x_n)\to L

    Per quanto riguarda l'altra implicazione, supponiamo per assurdo che non sia vera, cioè supponiamo di trovare la successione xn richiesta dal teorema, ma che

    \lim_{x\to x_0}f(x)\neq L

    Abbiamo negato che f(x) abbia limite L, questo equivale a scrivere:

    \exists\mbox{ } \bar{\varepsilon}\mbox{ }  \forall\mbox{ }\delta\mbox{ }\exists\mbox{ } x_{\delta} : |x_{\delta}-x_0|<\delta\wedge |f(x_\delta)-Ll\geq \bar\varepsilon

    Scegliamo

    \delta=\frac{1}{n}

    poniamo

    x_n=x_{\delta}.

    La successione appena definita soddisfa le ipotesi del teorema, ma al contempo

    f(x_n)\not\to L

    che è assurdo!

     

    Quindi questa è una dimostrazione, piuttosto rapida, del teorema Ponte.

     

    Il suo scopo ti è più chiaro ora? Il punto è rendere chiaro il legame tra teoria dei limiti di funzioni e di successioni, in sostanza ti permette di individuare una corrispondenza tra la teoria dei limiti sul continuo reale, e le successioni, che pure sono definite in R, ma sono indicizzate con numeri naturali.

    Risposta di Alpha
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Wiki - Analisi Matematica