Soluzioni
  • I multipli di 17 sono infiniti e sono tutti e soli i numeri interi divisibili per 17. In altre parole i multipli di 17 sono lo zero e tutti i numeri interi, sia negativi che positivi, tali che il resto della divisione tra ognuno di essi e 17 è uguale a zero.

    Ad esempio 34 è un multiplo di 17, perché

    34:17 = 2 \ \mbox{ resto } 0

    Al contrario 56 non è un multiplo di 17, infatti

    56:17 = 3 \ \mbox{ resto } 5

    Riguardo al calcolo dei multipli di 17 basta sapere che essi si ottengono moltiplicando 17 per ognuno dei numeri interi relativi, che sono lo zero e i numeri interi preceduti dal segno meno o dal segno più.

    Ad esempio:

    - alcuni tra i multipli non negativi di 17 sono

    0, 17, 34, 51, 68, 85, 102, 119, 136, 153, 170

    e si calcolano moltiplicando 17 per i numeri naturali compresi tra 0 e 10.

    - Alcuni multipli negativi di 17 sono

    -17, -34, -51, -68, -85, -102, -119, -136, -153, -170

    e si ottengono moltiplicando 17 per i numeri interi negativi compresi tra -1 e -10.

    Come stabilire se un numero è un multiplo di 17

    Un numero è un multiplo di 17 se e solo se è divisibile per 17, dunque per stabilire se un numero è multiplo di 17 possiamo:

    - calcolare il quoziente e il resto della divisione tra il numero e 17;

    - scomporre il numero in fattori primi;

    - usare il criterio di divisibilità per 17.

    Qualora il numero da controllare fosse negativo, basterebbe considerare il suo opposto.

    Controllo dei multipli di 17 con la divisione

    Per stabilire se un numero è un multiplo di 17 basta svolgere la divisione tra il numero considerato e 17, e guardare il resto:

    - se è zero, allora il numero è un multiplo di 17;

    - se è diverso da zero, allora il numero non è un multiplo di 17.

    Facciamo un esempio e vediamo quali tra 51, 57, 103, 119 e 207 sono multipli di 17.

    Calcoliamo i quozienti e i resti delle divisioni per 17:

    \\ 51:17 = 3 \ \mbox{ resto } 0 \\ \\ 57:17 = 3 \ \mbox{ resto } 6 \\ \\ 103:17=6 \ \mbox{ resto } 1 \\ \\ 119:17=7 \ \mbox{ resto } 0 \\ \\ 207:17=12 \ \mbox{ resto } 3

    Guardando i resti, e soffermandoci su quelli nulli, deduciamo che i multipli di 17 tra i numeri considerati sono 51 e 119.

    Se possiamo usare una calcolatrice la verifica è ancora più semplice:

    - se il risultato della divisione è un numero intero, il dividendo è un multiplo di 17;

    - se il risultato della divisione è un numero decimale, il dividendo non è un multiplo di 17.

    Controllo dei multipli di 17 con la scomposizione in fattori primi

    17 è un numero primo, per cui un numero è un multiplo di 17 se nella sua scomposizione in fattori primi compare il numero 17.

    Ecco qualche esempio:

    • 34, 153 e 170 sono multipli di 17 perché nelle rispettive scomposizioni è presente il numero 17

    \\ 34 = 2 \times 17 \\ \\ 153 = 3^2 \times 17 \\ \\ 170 = 2 \times 5 \times 17

    • 50, 168 e 468 non sono multipli di 17, infatti le loro scomposizioni in primi non contengono il 17

    \\ 50 = 2 \times 5^2 \\ \\ 168=2^3 \times 3 \times 7 \\ \\ 468 = 2^2 \times 3^2 \times 13

    Controllo dei multipli di 17 con il criterio di divisibilità

    Il criterio di divisibilità per 17 asserisce che un numero è divisibile per 17, e quindi è un suo multiplo, se il valore assoluto della differenza tra il numero scritto senza la cifra delle unità e il quintuplo della cifra delle unità è 0, 17, o un multiplo di 17.

    Se dopo aver applicato il criterio di divisibilità si ottiene un numero grande, per cui non si riesce a dire se è un multiplo di 17, si può riapplicare il criterio al numero ottenuto.

    A titolo di esempio, stabiliamo se 4335 è un multiplo di 17.

    La sua cifra delle unità è 5. Moltiplichiamola per 5

    5 \times 5 = 25

    e calcoliamo il valore assoluto della differenza tra il numero scritto senza la cifra delle unità (433) e il quintuplo della cifra delle unità (25)

    |433 - 25| = 408

    Il numero 408 è troppo grande e non sappiamo dire se è multiplo di 17. Reiteriamo allora il procedimento.

    Il numero scritto senza la cifra delle unità è 40. Il quintuplo della cifra delle unità è sempre 40 (8×5=40) e il valore assoluto della differenza è zero

    |40 - 40| = 0

    di conseguenza 4335 è un multiplo di 17.

    ***

    Ci fermiamo qui, ma ti consigliamo di leggere la nostra lezione su multipli, sottomultipli e divisori di un numero - click!

    Risposta di Galois
 
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