Soluzioni
  • Per ricavare le eventuali soluzioni dell'equazione complessa

    |z|^2z^2=2i

    conviene ragionare con le forme esponenziali dei numeri complessi.

    Poniamo innanzitutto

    z=\rho e^{i\theta}

    dove \rho \ \mbox{e} \ \theta sono rispettivamente modulo e argomento di z.

    Per definizione

    \bullet \ \ \ \rho=|z| è un numero reale non negativo;

    \bullet \ \ \ \theta=Arg(z) è un numero reale che appartiene nell'intervallo [0,2\pi).

    Se sostituiamo z=\rho e^{i\theta} nella relazione |z|^2z^2=2i, ricaviamo:

    \\ \rho^2\cdot(\rho e^{i\theta})^{2}=2i \\ \\ \rho^2\cdot \rho^2e^{2i\theta}=2i \\ \\ \rho^4 e^{2i\theta}=2i

    A questo punto esprimiamo il numero complesso w=2i nella sua forma esponenziale: calcoliamo il suo modulo

    |w|=|2i|=2|i|=2

    e il suo argomento ragionando in termini geometrici: poiché 2i appartiene al semiasse delle ordinate positive, il suo argomento è necessariamente Arg(w)=\frac{\pi}{2}.

    Alla luce delle precedenti considerazioni, la rappresentazione esponenziale di 2i è:

    2i=2e^{\frac{\pi}{2}i}

    di conseguenza la relazione \rho^4e^{2i\theta}=2i diventa

    \rho^4 e^{2i\theta}=2e^{\frac{\pi}{2}i}

    A questo punto notiamo che:

    - il primo membro è la rappresentazione esponenziale di un numero complesso avente modulo \rho^4 e argomento 2\theta;

    - due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno lo stesso modulo e i loro argomenti differiscono di un multiplo di 2\pi.

    Di conseguenza \rho^4 e^{2i\theta} è uguale a 2e^{\frac{\pi}{2}i} se \rho\ \mbox{e} \ \theta soddisfano il seguente sistema

    \begin{cases}\rho^4=2\\ \\ 2\theta=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}\end{cases}

    Dalla prima prima equazione ricaviamo che il modulo di z è

    |z|=\rho=\sqrt[4]{2}

    Dalla seconda equazione ricaviamo invece \theta

    \theta=\frac{\pi}{4}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

    Attenzione! \theta deve sottostare al vincolo 0\le\theta<2\pi ossia dobbiamo determinare i valori di k\in\mathbb{Z} che soddisfano la doppia disuguaglianza

    0\le\frac{\pi}{4}+k\pi<2\pi

    Sottraiamo \frac{\pi}{4} ai tre membri

    -\frac{\pi}{4}\le k\pi<\frac{7\pi}{4}

    dopodiché dividiamo i tre membri per \pi

    -\frac{1}{4}\le k<\frac{7}{4}

    Gli unici numeri interi che soddisfano la doppia disuguaglianza sono k=0 e k=1.

    A k=0 associamo \theta=\frac{\pi}{4} e la corrispondente soluzione dell'equazione

    z_0=\rho e^{i\theta}=\sqrt[4]{2}e^{\tfrac{\pi}{4}i}

    A k=1 associamo \theta=\frac{5\pi}{4} e la corrispondente soluzione dell'equazione

    z_1=\rho e^{i\theta}=\sqrt[4]{2}e^{\tfrac{5\pi}{4}i}

    In definitiva, le rappresentazioni esponenziali delle soluzioni dell'equazione

    |z|^2z^2=2i

    sono

    z_0=\sqrt[4]{2}e^{\tfrac{\pi}{4}i}  \ \ \ \mbox{e} \ \ \ z_1=\sqrt[4]{2}e^{\tfrac{5\pi}{4}i}

    Approfondimento

    È possibile passare dalla rappresentazione esponenziale alla forma algebrica: se sono noti sia modulo \rho che l'argomento \theta di un numero complesso z, allora:

    - la parte reale di z è data dalla relazione

    \mbox{Re}(z)=\rho\cos(\theta)

    - la parte immaginaria di z è data dalla formula

    \mbox{Im}(z)=\rho\sin(\theta)

    di conseguenza

    z=\rho\cos(\theta)+i\rho\sin(\theta)

    Analizziamo il numero complesso

    z_0=\sqrt[4]{2}e^{\tfrac{\pi}{4}i}

    Il suo modulo e il suo argomento valgono rispettivamente

    \rho=\sqrt[4]{2} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ \theta=\frac{\pi}{4}

    di conseguenza la parte reale e quella immaginaria di z_0 sono:

    \\ \bullet \ \ \ \mbox{Re}(z_0)=\rho\cos(\theta)= \\ \\ =\sqrt[4]{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}

    e

    \\ \bullet \ \ \ \mbox{Im}(z_0)=\rho\sin(\theta)=\\ \\ =\sqrt[4]{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}

    Alla luce di ciò scriviamo

    z_0=\mbox{Re}(z_0)+i\mbox{Im}(z_0)=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}+\frac{1}{\sqrt[4]{2}}\cdot i

    Il modulo e l'argomento del numero complesso

    z_1=\sqrt[4]{2}e^{i\tfrac{5\pi}{4}}

    valgono invece

    \rho=\sqrt[4]{2} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ \theta=\frac{5\pi}{4}

    per cui, usando le medesime formule viste per z_0, otteniamo la seguente rappresentazione algebrica

    z_1=-\frac{1}{\sqrt[4]{2}}-\frac{1}{\sqrt[4]{2}}i

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Analisi Matematica