Equazione complessa con modulo e potenza

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Ho bisogno del vostro aiuto per calcolare le soluzioni di un'equazione complessa che coinvolge il modulo di un numero complesso. Qual è la strategia migliore?

 

Determinare le eventuali soluzioni della seguente equazione complessa

 

|z|^2z^2 = 2i

 

Grazie.

Domanda di WhiteCell

 
Soluzioni

  • Per ricavare le eventuali soluzioni dell'equazione complessa

    |z|^2z^2 = 2i

    conviene ragionare con le forme esponenziali dei numeri complessi.

    Poniamo innanzitutto

    z = ρ e^(iθ)

    dove ρ e θ sono rispettivamente modulo e argomento di z.

    Per definizione

    • ρ = |z| è un numero reale non negativo;

    • θ = Arg(z) è un numero reale che appartiene nell'intervallo [0,2π).

    Se sostituiamo z = ρ e^(iθ) nella relazione |z|^2z^2 = 2i, ricaviamo:

    ρ^2·(ρ e^(iθ))^(2) = 2i ; ρ^2·ρ^2e^(2iθ) = 2i ; ρ^4 e^(2iθ) = 2i

    A questo punto esprimiamo il numero complesso w = 2i nella sua forma esponenziale: calcoliamo il suo modulo

    |w| = |2i| = 2|i| = 2

    e il suo argomento ragionando in termini geometrici: poiché 2i appartiene al semiasse delle ordinate positive, il suo argomento è necessariamente Arg(w) = (π)/(2).

    Alla luce delle precedenti considerazioni, la rappresentazione esponenziale di 2i è:

    2i = 2e^((π)/(2)i)

    di conseguenza la relazione ρ^4e^(2iθ) = 2i diventa

    ρ^4 e^(2iθ) = 2e^((π)/(2)i)

    A questo punto notiamo che:

    - il primo membro è la rappresentazione esponenziale di un numero complesso avente modulo ρ^4 e argomento 2θ;

    - due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno lo stesso modulo e i loro argomenti differiscono di un multiplo di 2π.

    Di conseguenza ρ^4 e^(2iθ) è uguale a 2e^((π)/(2)i) se ρ e θ soddisfano il seguente sistema

    ρ^4 = 2 ; 2θ = (π)/(2)+2kπ con k∈Z

    Dalla prima prima equazione ricaviamo che il modulo di z è

    |z| = ρ = [4]√(2)

    Dalla seconda equazione ricaviamo invece θ

    θ = (π)/(4)+kπ con k∈Z

    Attenzione! θ deve sottostare al vincolo 0 ≤ θ < 2π ossia dobbiamo determinare i valori di k∈Z che soddisfano la doppia disuguaglianza

    0 ≤ (π)/(4)+kπ < 2π

    Sottraiamo (π)/(4) ai tre membri

    -(π)/(4) ≤ kπ < (7π)/(4)

    dopodiché dividiamo i tre membri per π

    -(1)/(4) ≤ k < (7)/(4)

    Gli unici numeri interi che soddisfano la doppia disuguaglianza sono k = 0 e k = 1.

    A k = 0 associamo θ = (π)/(4) e la corrispondente soluzione dell'equazione

    z_0 = ρ e^(iθ) = [4]√(2)e^((π)/(4)i)

    A k = 1 associamo θ = (5π)/(4) e la corrispondente soluzione dell'equazione

    z_1 = ρ e^(iθ) = [4]√(2)e^((5π)/(4)i)

    In definitiva, le rappresentazioni esponenziali delle soluzioni dell'equazione

    |z|^2z^2 = 2i

    sono

    z_0 = [4]√(2)e^((π)/(4)i) e z_1 = [4]√(2)e^((5π)/(4)i)

    Approfondimento

    È possibile passare dalla rappresentazione esponenziale alla forma algebrica: se sono noti sia modulo ρ che l'argomento θ di un numero complesso z, allora:

    - la parte reale di z è data dalla relazione

    Re(z) = ρcos(θ)

    - la parte immaginaria di z è data dalla formula

    Im(z) = ρsin(θ)

    di conseguenza

    z = ρcos(θ)+iρsin(θ)

    Analizziamo il numero complesso

    z_0 = [4]√(2)e^((π)/(4)i)

    Il suo modulo e il suo argomento valgono rispettivamente

    ρ = [4]√(2) e θ = (π)/(4)

    di conseguenza la parte reale e quella immaginaria di z_0 sono:

    • Re(z_0) = ρcos(θ) = [4]√(2)cos((π)/(4)) = ([4]√(2))/(√(2)) = (1)/([4]√(2))

    e

    • Im(z_0) = ρsin(θ) = [4]√(2)sin((π)/(4)) = ([4]√(2))/(√(2)) = (1)/([4]√(2))

    Alla luce di ciò scriviamo

    z_0 = Re(z_0)+iIm(z_0) = (1)/([4]√(2))+(1)/([4]√(2))·i

    Il modulo e l'argomento del numero complesso

    z_1 = [4]√(2)e^(i(5π)/(4))

    valgono invece

    ρ = [4]√(2) e θ = (5π)/(4)

    per cui, usando le medesime formule viste per z_0, otteniamo la seguente rappresentazione algebrica

    z_1 = -(1)/([4]√(2))-(1)/([4]√(2))i

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
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