Soluzioni
  • L'intercetta di una retta, detta anche ordinata all'origine e indicata con la lettera q, è l'ordinata del punto di intersezione tra la retta e l'asse y. In altre parole l'intercetta di una retta è la distanza tra l'origine degli assi e il punto di intersezione tra la retta e l'asse delle ordinate.

     

    Ordinata all'origine

    Intercetta di una retta.

     

    È evidente che l'intercetta è definita per qualsiasi retta che non sia verticale; le rette verticali infatti sono parallele all'asse y e quindi non hanno punti di intersezione con esso.

    Formule per calcolare l'intercetta di una retta

    L'intercetta di una retta non verticale si può calcolare in diversi modi, che dipendono dal tipo di equazione della retta o da eventuali altri dati che si hanno a disposizione.

    Intercetta di una retta in forma esplicita

    Se la retta è data in forma esplicita, cioè ha un'equazione della forma

    y=mx+q

    l'intercetta è servita su un piatto d'argento ed è q, ossia coincide con il termine noto dell'equazione della retta. m, ossia il coefficiente di x, è invece il coefficiente angolare.

    Intercetta di una retta in forma implicita

    L'equazione di una retta in forma implicita è

    ax+by+c=0

    In questo caso:

    - se b \neq 0, l'intercetta è l'opposto del rapporto tra il termine noto c e il coefficiente di y

    q = -\frac{c}{b} \ \ \mbox{ con } b \neq 0

    - se b=0 l'intercetta non è definita in quanto la retta è parallela all'asse delle ordinate.

    Intercetta di una retta con le coordinate di due punti

    Se si conoscono le coordinate cartesiane di due punti distinti P, Q appartenenti alla retta

    P(x_1, y_1) \ \ \ ; \ \ \ Q(x_2,y_2)

    e se x_1 \neq x_2, l'intercetta è data da

    q=\frac{x_2y_1 - x_1y_2}{x_2-x_1} \ \ \mbox{ con } x_1 \neq x_2

    In alternativa si può calcolare l'equazione della retta passante per due punti e applicare una delle formule viste in precedenza.

    Nei casi in cui x_1=x_2 la retta è parallela all'asse ordinate, quindi l'intercetta non è definita.

    Esempi sul calcolo dell'intercetta di una retta

    Passiamo agli esempi: svolgiamo insieme qualche esercizio sul calcolo dell'intercetta di una retta.

    Esempio 1

    Quanto vale l'intercetta della bisettrice del primo e terzo quadrante?

    Svolgimento: l'equazione della bisettrice del primo e del terzo quadrante è

    y=x

    ossia è della forma

    y=mx+q \ \ \mbox{ con } m=1 \mbox{ e } q=0

    di conseguenza la sua intercetta è q=0.

    Esempio 2

    Calcolare l'intercetta della retta 2x+y-7=0.

    Svolgimento: l'equazione della retta è in forma implicita, cioè è del tipo

    ax+by+c=0 \ \ \mbox{ con } a=2, \ b=1, \ c=-7

    Applicando la formula per il calcolo dell'intercetta di un retta in forma implicita, otteniamo

    q=-\frac{c}{b} = -\frac{-7}{1} = 7

    Esempio 3

    Trovare l'intercetta della retta r passante per i punti P(1,3) \ ; \ Q(2,4).

    Svolgimento: chiamiamo (x_1,y_1) le coordinate di P e (x_2,y_2) le coordinate di Q

    P(x_1,y_1) = (1,3) \ \ \ ; \ \ \ Q(x_2,y_2) = (2,4)

    Poiché x_1 \neq x_2 la retta non è verticale e possiamo applicare la formula

    q=\frac{x_2y_1 - x_1y_2}{x_2-x_1}

    Sostituiamo ogni coordinata con il rispettivo valore e svolgiamo i calcoli

    q= \frac{2 \cdot 3 - 1 \cdot 4}{2-1} = \frac{6-4}{1} = 2

    In definitiva q=2.

    Un altro modo di procedere è quello di calcolare l'equazione di r applicando la formula della retta passante per due punti non allineati

    r: \ \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_2}

    Con le giuste sostituzioni otteniamo

    r: \ \frac{x-1}{2-1} = \frac{y-3}{4-3}

    da cui

    r: \ x-1=y-3

    Scriviamone l'equazione in forma esplicita e ci siamo!

    r: \ y=x+2

    dunque q=2.

    ***

    Per una panoramica su tutto ciò che caratterizza una retta nel piano cartesiano puoi leggere la nostra lezione sulle formule della retta - click!

    Risposta di Galois
 
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