Soluzioni
  • Le proporzioni con un'incognita sono quelle in cui un compare un'incognita, solitamente rappresentata dalla lettera x. Tra le proporzioni a un'incognita si distinguono:

    - le proporzioni con termine incognito di primo grado, ossia quelle in cui l'incognita è di primo grado e costituisce un termine della proporzione, come ad esempio:

    x:3=18:9 \ \ \ ; \ \ \ 13:x=65:8

    - quelle in cui l'incognita compare in un termine della proporzione, all'interno di un'espressione

    (x+1):2=3:5 \ \ \ ; \ \ \ 2:5=(x-2):8

    - quelle in cui l'incognita compare in più termini

    x:(x-1)=1:2 \ \ \ ; \ \ \ x:3 = (x-1):4x

    - quelle in cui l'incognita ha un esponente maggiore di 1

    x^2:2=3:4 \ \ \ ; \ \ \ x:2=x^3:5

    Come risolvere una proporzione con termine incognito di primo grado

    Le proporzioni a un'incognita che vengono assegnate alla scuola media o al primo anno delle scuole superiori sono quelle in cui l'incognita costituisce un termine della proporzione, e possono sempre ricondursi a una delle seguenti forme normali

    \\ x:b=c:d \\ \\ a:x=c:d \\ \\ a:b=x:d \\ \\ a:b=c:x

    In tutti i casi a, b, c, d sono numeri reali qualsiasi non nulli.

    Dopo avere ottenuto una delle precedenti forme si applica la proprietà fondamentale delle proporzioni, secondo cui il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

    \\ x:b=c:d \ \to \ d \times x = b \times c \\ \\ a:x=c:d \ \to \ c \times x = a \times d \\ \\ a:b=x:d \ \to \ b \times x = a \times d \\ \\ a:b=c:x \ \to \ a \times x = b \times c

    Infine per calcolare il valore dell'incognita x si dividono i membri di ogni uguaglianza per il coefficiente della x

    \\ d \times x = b \times c \ \to \ x=\frac{b \times c}{d} \\ \\ \\ c \times x = a \times d \ \to \ x=\frac{a \times d}{c} \\ \\ \\ b \times x = a \times d \ \to \ x=\frac{a \times d}{b} \\ \\ \\ a \times x = b \times c \ \to \ x=\frac{b \times c}{a}

    Ecco una semplice regola mnemonica che racchiude in poche parole quanto detto fino a qui. In una proporzione:

    - il valore di un estremo incognito è dato dal prodotto dei medi diviso l'estremo che si conosce;

    - il valore di un medio incognito è dato dal prodotto degli estremi diviso il medio che si conosce.

    Esempi sulla risoluzione di proporzioni con un'incognita

    Vediamo tre esercizi sulle proporzioni con un'incognita in cui viene chiesto di calcolare il valore del termine incognito.

    Esempio 1

    Calcolare il termine incognito nella proporzione

    7:3=21:x

    Svolgimento: l'incognita è un estremo; calcoliamone il valore servendoci della regola mnemonica, secondo cui il valore di un estremo incognito è dato dal prodotto dei medi diviso l'estremo che si conosce

    x=\frac{3 \times 21}{7} = \frac{63}{7} = 9

    Esempio 2

    Determinare il valore del termine incognito nella proporzione

    1,\overline{3}:0,\overline{2}=x:4,5

    Svolgimento: sebbene la proporzione sia in forma normale, non sappiamo svolgere moltiplicazioni e divisioni tra numeri periodici, dunque calcoliamo la frazione generatrice per ciascuno di essi.

    1,\overline{3} e 0,\overline{2} sono numeri decimali periodici semplici; le rispettive frazioni generatrici hanno:

    - al numeratore la differenza tra il numero scritto senza la virgola e la parte intera;

    - il denominatore uguale a tanti 9 quante sono le cifre del periodo.

    \\ 1,\overline{3} = \frac{13-1}{9}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3} \\ \\ \\ 0,\overline{2} = \frac{2-0}{9} = \frac{2}{9}

    4,5 è un numero decimale limitato a cui corrisponde una frazione che ha al numeratore il numero scritto senza la virgola e al denominatore un 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali.

    4,5=\frac{45}{10}=\frac{9}{2}

    Ci siamo così ricondotti a una proporzione con frazioni

    1,\overline{3}:0,\overline{2}=x:4,5 \ \to \ \frac{4}{3} : \frac{2}{9} = x:\frac{9}{2}

    Applichiamo la proprietà fondamentale

    \frac{2}{9} \times x = \frac{4}{3} \times \frac{9}{2}

    Calcoliamo il prodotto tra frazioni

    \frac{2}{9} \times x = 6

    e ricaviamo il valore di x dividendo per \frac{2}{9} o, equivalentemente, moltiplicando per \frac{9}{2}

    x=6\times \frac{9}{2} = 27

    Il termine incognito della proporzione è x=27.

    Esempio 3

    Non è raro imbattersi in proporzioni con l'incognita i cui termini sono delle piccole espressioni con frazioni. Ne è un esempio

    \left(\frac{3}{4}-\frac{2}{3}:\frac{16}{15}\right):\left(\frac{1}{12} \times \frac{15}{4}\right)=x:\left(1-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\right)

    in cui è richiesto di calcolare il valore di x.

    Svolgimento: semplifichiamo il più possibile i vari termini.

    Primo termine

    \frac{3}{4}-\frac{2}{3}:\frac{16}{15}

    Rispettiamo l'ordine delle operazioni e svolgiamo prima la divisione tra frazioni

    \frac{2}{3}:\frac{16}{15} = \frac{2}{3} \times \frac{15}{16} = \frac{5}{8}

    e poi la differenza

    \frac{3}{4}-\frac{5}{8} = \frac{6-5}{8} = \frac{1}{8}

    Secondo termine

    \frac{1}{12} \times \frac{15}{4}= \frac{5}{16}

    Quarto termine

    1-\frac{1}{2}+\frac{3}{2} = \frac{2-1+3}{2} = \frac{4}{2}=2

    Riscriviamo la proporzione sostituendo ogni termine con quello ottenuto dalle varie semplificazioni

    \frac{1}{8} : \frac{5}{16} = x : 2

    e, al solito, applichiamo la proprietà fondamentale

    \\ \frac{5}{16} \times x=2 \times \frac{1}{8} \\ \\ \\ \frac{5}{16} \times x=\frac{1}{4}

    Ci siamo quasi! Dividiamo per \frac{5}{16}, cioè moltiplichiamo ambo i membri per \frac{16}{5}, e abbiamo finito

    x=\frac{1}{4} \times \frac{16}{5} =\frac{4}{5}

    Approfondimento sugli altri tipi di proporzioni a un'incognita

    Come anticipato all'inizio, esistono proporzioni a un'incognita in cui:

    - l'incognita compare in un termine della proporzione, all'interno di un'espressione;

    - la stessa incognita compare in più termini;

    - l'incognita è elevata a un esponente maggiore di 1.

    Per risolvere questo tipo di proporzioni si deve, come per le altre, semplificare ogni termine il più possibile e usare la proprietà fondamentale delle proporzioni. In questo modo si ottiene un'equazione che può essere di qualsiasi forma e grado, dunque per risolverla è necessario conoscere i vari metodi di risoluzione delle equazioni.

    ***

    Concludiamo con qualche approfondimento correlato:

    - proporzioni con due incognite;

    - proporzioni continue;

    - proporzioni online.

    Risposta di Galois
 
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