Soluzioni
  • I fattori primi di un numero sono tutti e soli i numeri primi che lo dividono esattamente, con resto zero, e per questo motivo sono anche detti divisori primi.

    Ad esempio 2 e 5 sono fattori primi del numero 20, infatti

    \\ 20 : 2 = 10 \ \mbox{ resto } 0 \\ \\ 20:5 = 4 \ \mbox{ resto } 0

    Vediamo come si calcolano i fattori primi di un numero e come, invece, si può stabilire se un numero è un fattore primo di un altro.

    Calcolo dei fattori primi

    Per calcolare i fattori primi di un numero è sufficiente scomporre in fattori primi il numero assegnato, e leggerne i fattori primi dalla colonna di destra della fattorizzazione.

    Esempi di calcolo di fattori primi

    1) Calcolare i fattori primi di 18.

    La scomposizione in fattori primi di 18 è la seguente

    \begin{array}{c|c}18 & 2 \\ 9&3 \\ 3&3 \\ 1&\end{array}

    di conseguenza i suoi fattori primi sono 2 e 3.

    2) Scrivere l'elenco di tutti i fattori primi di 360.

    Scomponiamo 360 in fattori primi

    \begin{array}{c|c}360 & 5 \\ 72&2 \\ 36&2 \\ 18&2 \\ 9&3 \\ 3&3 \\ 1&\end{array}

    Poiché

    360=2^3 \times 3^2 \times 5

    i divisori primi di 360 sono 2, 3 e 5.

    3) Determinare i fattori primi di 1.

    Il numero 1 non ha fattori primi, in quanto non è scomponibile nel prodotto di numeri primi. Ricordiamo infatti che un numero primo è un numero naturale maggiore di 1 divisibile solamente per 1 e per se stesso.

    Come stabilire se un numero è un fattore primo di un altro

    Siano a e b due numeri interi positivi. a è un fattore primo di b se e solo se a è un numero primo e se b è divisibile per a, cioè se il resto della divisione tra b e a è zero.

    Esempi

    1) 2 è un fattore primo di 12, infatti 2 è un numero primo e il resto della divisione tra 12 e 2 è zero

    12:2 = 6 \ \mbox{ resto } 0

    Poiché tutti i numeri pari sono divisibili per 2 per definizione, ne consegue che 2 è un fattore primo di ogni numero pari.

    2) 4 non è un fattore primo di 16 perché sebbene 16 sia divisibile per 4, 4 non è un numero primo.

    3) 3 è un fattore primo di 150, in quanto

    150:3=50 \ \mbox{ resto } 0

    Più in generale, 3 è un fattore primo di tutti i numeri divisibili per 3, cioè di ogni numero la cui somma delle cifre è un multiplo di 3.

    4) 5 è un fattore primo di 25, di 30 di 1500, di 3605 e di ogni numero la cui cifra delle unità è 0 oppure 5.

    ***

    Dai precedenti esempi risulta evidente che un metodo veloce per stabilire se un numero è un fattore primo di un altro è quello di ricorrere ai criteri di divisibilità.

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Wiki - Algebra