Soluzioni
  • Per calcolare il dominio di una funzione fratta si deve richiedere che il denominatore sia diverso da zero. Oltre a questo, si deve porre tale condizione a sistema con altre eventuali condizioni di esistenza, che dipendono dalla forma analitica del numeratore e del denominatore.

    In generale le funzioni fratte presentano la variabile indipendente a denominatore, ossia si manifestano come rapporto tra due funzioni che possono assumere qualsiasi forma. Dette esse f(x) e g(x):

    y=\frac{f(x)}{g(x)}

    di conseguenza, oltre a imporre

    g(x) \neq 0

    dobbiamo tenere conto di eventuali condizioni che dipendono dalle espressioni di f(x) e di g(x).

    Dominio delle funzioni razionali fratte

    Un caso particolare di funzioni fratte sono le funzioni razionali fratte

    y=\frac{N(x)}{D(x)}

    dove N(x) e D(x) sono funzioni polinomiali. Più precisamente N(x) è un polinomio di grado n \ge 0 e non identicamente nullo, mentre D(x) è un polinomio di grado m>0.

    Poiché il dominio di una funzione polinomiale è dato da \mathbb{R}, l'unica condizione da imporre per calcolare il dominio di una funzione razionale fratta è che il denominatore D(x) sia diverso da zero.

    \mbox{unica condizione}:\ D(x)\neq 0

    Esempi sul calcolo del dominio di una funzione fratta

    Per non lasciare spazio a dubbi riportiamo qualche esercizio svolto sul calcolo del dominio di funzioni fratte.

    Esempio 1: dominio di una funzione razionale fratta

    f(x)=\frac{x^3+1}{x^2-2x+1}

    Svolgimento: siamo di fronte a una funzione razionale fratta, per cui imponiamo che il denominatore sia diverso da zero

    x^2-2x+1 \neq 0

    Osserviamo che x^2-2x+1 è lo sviluppo di un quadrato di binomio

    x^2-2x+1 = (x-1)^2

    pertanto

    x^2-2x+1 \neq 0 \ \to \ (x-1)^2 \neq 0 \ \to \ x \neq 1

    In definitiva, il dominio è

    Dom(f)=\mathbb{R}-\{1\}

    Esempio 2: dominio di una funzione fratta con radice

    g(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x^2-3x}

    Svolgimento: g(x) è una funzione fratta definita dal rapporto tra una radice con indice pari e un polinomio. Per calcolarne il dominio imponiamo che il radicando sia non negativo e che il denominatore sia non nullo, ponendo entrambe le condizioni a sistema:

    \begin{cases}x+1 \ge 0 \\ x^2-3x \neq 0\end{cases}

    Risolviamo il sistema misto:

    x+1 \ge 0

    è una disequazione di primo grado, le cui soluzioni sono

    x \ge -1

    Per calcolare i valori di x per cui

    x^2-3x \neq 0

    raccogliamo x a fattor comune

    x^2-3x \neq 0 \ \to \ x(x-3) \neq 0

    Per la legge di annullamento del prodotto, un prodotto è nullo se almeno uno dei fattori è uguale a zero, per cui dev'essere

    x \neq 0 \ \ \wedge \ \ x \neq 3

    Nel sistema iniziale sostituiamo ogni condizione con le rispettive soluzioni

    \begin{cases}x \ge -1 \\ x \neq 0 \ \ \mbox{ e } \ \ x \neq 3\end{cases}

    Avvalendoci del metodo grafico di risoluzione dei sistemi di disequazioni si ottiene

    Dom(g)=[-1,0) \cup (0,3) \cup (3,+\infty)

    Esempio 3: dominio di una funzione fratta con logaritmo

    h(x)=\frac{\log(x^2-5x+6)}{x^2+1}

    Svolgimento: per determinare il dominio di h(x) richiediamo che l'argomento del logaritmo sia maggiore di zero e che il denominatore sia diverso da zero

    \begin{cases}x^2-5x+6 > 0 \\ x^2+1 \neq 0\end{cases}

    Risolviamo la disequazione di secondo grado. Le soluzioni dell'equazione associata sono

    x_1=2 \ \ ; \ \ x_2=3

    di conseguenza

    x^2-5x+6 > 0 \ \to \ x<2 \ \ \vee \ \ x>3

    Osserviamo poi che x^2+1 è una somma tra un quadrato e un numero positivo, e in quanto tale è diversa da zero per ogni x \in \mathbb{R}.

    In definitiva le soluzioni del sistema sono

    x<2 \ \ \vee \ \ x>3

    quindi il dominio di h(x) è

    Dom(h)=(-\infty,2) \cup (3,+\infty)

    ***

    Ci fermiamo qui, ma per altri esercizi svolti puoi usare la barra di ricerca interna. Se invece vuoi fare un ripasso di tutte le regole per il calcolo del dominio di una funzione - click!

    Risposta di Galois
 
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