Soluzioni
  • La derivata di ln(2x), ossia la derivata del logaritmo naturale di 2x, è uguale a 1/x e si può calcolare in due modi: con il teorema di derivazione della funzione composta o con la definizione di derivata prima.

    \frac{d}{dx} \ln(2x) = [\ln(2x)]' = \frac{1}{x} \ \ \mbox{ per } x>0

    Per completezza riportiamo entrambi i metodi di calcolo.

    Derivata di ln(2x) con la definizione

    Calcoliamo la derivata di f(x)=\ln(2x) con la definizione di derivata prima, ossia calcoliamo il limite del rapporto incrementale

    f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

    Sostituiamo f(x) con \ln(2x)

    [\ln(2x)]' = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(2(x+h))-\ln(2x)}{h} =

    svolgiamo il prodotto nell'argomento

    =\lim_{h \to 0} \frac{\ln(2x+2h)-\ln(2x)}{h}=

    A numeratore applichiamo una delle proprietà dei logaritmi: la differenza tra due logaritmi è uguale al logaritmo del rapporto degli argomenti

    =\lim_{h \to 0} \frac{\ln\left(\dfrac{2x+2h}{2x}\right)}{h}=

    Dividiamo termine a termine

    =\lim_{h \to 0} \frac{\ln\left(\dfrac{2x}{2x}+\dfrac{2h}{2x}\right)}{h}=

    semplifichiamo

    =\lim_{h \to 0} \frac{\ln\left(1+\dfrac{h}{x}\right)}{h}

    Cerchiamo di ricondurci al limite notevole del logaritmo

    \lim_{z \to 0} \frac{\ln(1+z)}{z}=1

    Poniamo z=\frac{h}{x} e ricaviamo h in funzione di z moltiplicando ambo i membri per x

    z=\frac{h}{x} \ \to \ h=zx

    Osserviamo inoltre che per h \to 0 anche z tende a zero per ogni x>0.

    Effettuiamo le sostituzioni al limite a cui ci eravamo fermati

    \\ \lim_{h \to 0} \frac{\ln\left(1+\dfrac{h}{x}\right)}{h} = \\ \\ \\ = \lim_{z \to 0} \frac{\ln(1+z)}{xz} =

    Trasportiamo \frac{1}{x} fuori dal limite, dal momento che è una quantità che non dipende da z

    =\frac{1}{x} \cdot \overbrace{\lim_{z \to 0} \frac{\ln(1+z)}{z}}^{=1} = \frac{1}{x} \ \ \forall \ x>0

    In definitiva:

    [\ln(2x)]'=\frac{1}{x}

    Derivata di ln(2x) come derivata di una funzione composta

    Se è noto il teorema di derivazione della funzione composta, invece di calcolare la derivata di ln(2x) con la definizione osserviamo che

    f(x)=\ln(2x)

    è una funzione composta del tipo

    f(x)=\ln(g(x))\ \ \ \mbox{con }\ g(x)=2x

    La sua derivata prima è data da:

    [\ln(g(x))]' = \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x)

    Sostituiamo g(x) con 2x

    [\ln(2x)]' = \frac{1}{2x} \cdot [2x]' =

    la derivata di 2x è 2

    =\frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}

    Anche con questo metodo (ma molto più velocemente di prima) siamo giunti al medesimo risultato

    [\ln(2x)]' = \frac{1}{x}

    ***

    Un paio di approfondimenti utili:

    - come calcolare la derivata del logaritmo;

    - ripasso completo sulle derivate.

    Risposta di Galois
 
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