Cubo di trinomio

Giuseppe Carichino (Galois) -

Come si sviluppa il cubo di trinomio? Tra gli esercizi sui prodotti notevoli ne ho trovato alcuni che sono dei cubi di trinomio, ma nella tabella di riepilogo non c'è nessuna formula sul loro sviluppo. Potreste aiutarmi?

Sviluppare il seguente cubo di trinomio

(a-2b+c)^3

Soluzione

Il cubo di un trinomio non rientra tra i prodotti notevoli che si studiano e si imparano a memoria, perché il suo sviluppo non è affatto semplice da ricordare.

La formula del cubo di un trinomio infatti è data da:

(a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3+;+3a^2b+3a^2c+;+3b^2c+3ab^2+;+3ac^2+3bc^2+;+6abc

Solitamente le formule di sviluppo dei prodotti notevoli si esprimono a parole, e anche in questo caso si capisce perché quella del cubo di trinomio non sia annoverata tra i prodotti notevoli...

"Il cubo di un trinomio è uguale alla somma dei cubi dei tre monomi che lo compongono, a cui vanno sommati: il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo, il triplo prodotto del quadrato del primo per il terzo, il triplo prodotto del quadrato del secondo per il terzo, il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo, il triplo prodotto del primo per il quadrato del terzo, il triplo prodotto del secondo per il quadrato del terzo, ed infine il sestuplo del prodotto del primo per il secondo per il terzo."

Dovrebbe ora essere chiaro il motivo per cui la regola per il cubo di trinomio non compare tra i prodotti notevoli. ;)

Come calcolare il cubo di un trinomio

Molto più semplicemente, per sviluppare il cubo di un trinomio conviene usare le proprietà delle potenze e scriverlo come prodotto tra polinomi

(a+b+c)^3 = (a+b+c)^2 (a+b+c)

A questo punto si sviluppa il quadrato di trinomio

(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac

e si svolge il prodotto

(a+b+c)^3 = (a+b+c)^2 (a+b+c) = (a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac) (a+b+c) = a^3+a^2b+a^2c+ab^2+b^3+b^2c+ac^2+bc^2+c^3+;+2a^2b+2ab^2+2abc+2abc+2b^2c+2bc^2+2a^2c+2abc+2ac^2 =

sommiamo i termini simili

= a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3b^2c+3ab^2+3ac^2+3bc^2+6abc

In questo modo, oltre ad aver fornito un metodo di calcolo, abbiamo anche dimostrato la formula diretta dello sviluppo.

Esempio sul cubo di trinomio

Vediamo un esempio sullo sviluppo di un cubo di trinomio, svolgendo quello proposto. Purtroppo i calcoli sono numerosi, per quanto semplici, ed è richiesta parecchia attenzione onde evitare errori di distrazione.

Calcoliamo il seguente cubo di trinomio

(a-2b+c)^3

vale a dire il cubo del trinomio (a-2b+c).

Svolgimento: scriviamolo come prodotto

(a-2b+c)^3 = (a-2b+c)^2 (a-2b+c)

Sviluppiamo a parte il quadrato di trinomio (a-2b+c)^2.

Calcoliamo i quadrati dei monomi che costituiscono il trinomio

a^2 ; 4b^2 ; c^2

Passiamo ai prodotti misti, ricordandoci di riportare ciascun termine con il proprio segno

2·a·(-2b) = -4ab ; 2·(-2b)·c = -4bc ; 2·a·c = 2ac

La somma tra i quadrati e i prodotti misti fornisce lo sviluppo del quadrato di trinomio, ossia

(a-2b+c)^2 = a^2+4b^2+c^2-4ab-4bc+2ac

Torniamo al cubo del trinomio:

(a-2b+c)^3 = (a-2b+c)^2 (a-2b+c) = (a^2+4b^2+c^2-4ab-4bc+2ac) (a-2b+c) =

e svolgiamo il prodotto tra polinomi

= a^3-2a^2b+a^2c+4ab^2-8b^3+4b^2c+ac^2-2bc^2+c^3+;-4a^2b+8ab^2-4abc-4abc+8b^2c-4bc^2+2a^2c-4abc+2ac^2 =

sommiamo i monomi simili

= a^3-8b^3+c^3-6a^2b+3a^2c+12b^2c+12ab^2+3ac^2-6bc^2-12abc

In definitiva:

(a-2b+c)^3 = a^3-8b^3+c^3-6a^2b+3a^2c+12b^2c+12ab^2+3ac^2-6bc^2-12abc

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