Soluzioni
  • Per calcolare l'integrale di cos(2x) possiamo procedere in due modi: per sostituzione o, molto più semplicemente, vedendolo come un integrale notevole in forma generale.

    Prima di riportare entrambi i metodi di calcolo scriviamo il risultato

    \int \cos(2x) dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + c

    che possiamo anche esprimere in termini di seno e coseno

    \int \cos(2x) dx = \cos(x)\sin(x) + c

    Integrale di cos(2x) per sostituzione

    Per calcolare l'integrale per sostituzione, poniamo

    2x=t

    Ricaviamo il valore di x in funzione di t

    x=\frac{t}{2}

    Deriviamo membro a membro, così da ottenere il nuovo differenziale

    dx=\frac{1}{2} dt

    Sostituiamo!

    \int \cos(2x) dx = \int \cos(t) \cdot \frac{1}{2}dt =

    In forza delle proprietà degli integrali, portiamo il fattore moltiplicativo \frac{1}{2} fuori dal segno di integrale

    =\frac{1}{2} \int \cos(t) dt =

    Abbiamo così ottenuto l'integrale elementare del coseno, che conosciamo a memoria

    =\frac{1}{2}\sin(t) + c=

    Torniamo alla variabile x ricordando che t=2x

    =\frac{1}{2}\sin(2x)+c

    In definitiva

    \int \cos(2x) dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + c

    A questo punto possiamo applicare la formula di duplicazione del seno, secondo cui

    \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)

    e quindi esprimere l'integrale come

    \int \cos(2x) dx = \sin(x)\cos(x) + c

    Integrale di cos(2x) come integrale notevole

    Tra gli integrali notevoli in forma generale abbiamo il seguente

    \int \left[\cos(f(x)) f'(x)\right] dx = \sin(f(x)) + c

    L'integranda di

    \int \cos(2x) dx

    è della forma \cos(f(x)) con f(x)=2x.

    Per ricondurci all'integrale notevole manca la derivata prima di f(x)=2x, che è f'(x)=2.

    Moltiplichiamo e dividiamo per 2

    \int \cos(2x) dx = \int \left[\cos(2x) \cdot \frac{1}{2} \cdot 2\right] dx =

    Portiamo \frac{1}{2} fuori dal segno di integrale

    =\frac{1}{2} \int [\cos(2x) \cdot 2] dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + c

    Abbiamo finito, ma anche in questo caso possiamo esprimere il risultato in termini di seno e coseno applicando la formula di duplicazione del seno.

    ***

    Per altri esercizi svolti di questo tipo segnaliamo la scheda di esercizi sugli integrali particolari. In ultimo, per verificare la correttezza dei risultati ottenuti, si può fare affidamento sul tool per gli integrali online.

    Risposta di Galois
 
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