Soluzioni
  • Disporre una serie di numeri in ordine crescente vuol dire ordinarli dal più piccolo al più grande, ossia disporli ordinatamente dal minore al maggiore. Scrivere una sequenza di numeri in ordine decrescente equivale a disporli dal maggiore al minore, cioè dal più grande al più piccolo.

    Ordine crescente → Dal più piccolo al più grande

    Ordine decrescente → Dal più grande al più piccolo

    Per capire cosa vuol dire ordine crescente e cosa si intende per ordine decrescente partiamo dal caso più semplice e consideriamo due numeri naturali qualsiasi, ad esempio 85 e 69. In questo caso, possiamo dire che 85 è maggiore di 69, o equivalentemente che 69 è minore di 85. In simboli

    85>69 \ \ ; \ \ 69<85

    In generale se indichiamo con a,b due numeri naturali qualsiasi, si può sempre stabilire se a è minore, maggiore o uguale a b.

    Basandoci su quest'ultima osservazione, possiamo scrivere due o più numeri naturali in modo ordinato procedendo in due modi: partendo dal minore oppure partendo dal maggiore.

    Nel primo caso si dice che i numeri sono in ordine crescente, nel secondo che sono in ordine decrescente.

    Ad esempio

    2 \ ; \ 4 \ ; \ 9 \ ; \ 12 \ ; \ 21 \ ; \ 32 \ ; \ 56 \ ; \ 84

    sono numeri in ordine crescente, mentre

    84 \ ; \ 56 \ ; \ 32 \ ; \ 21 \ ; \ 12 \ ; \ 9 \ ; \ 4 \ ; \ 2

    sono gli stessi numeri, ma disposti in ordine decrescente.

    Lo stesso discorso fatto fin qui per gli ordinamenti crescente e decrescente dei numeri naturali si può estendere facilmente ad altri insiemi numerici, ad esempio all'insieme dei numeri interi relativi e a quello dei numeri razionali.

    Nel caso delle frazioni e dei numeri decimali, però, individuare un ordinamento crescente o decrescente non è così semplice come per i numeri naturali. Vediamo nel dettaglio come procedere...

    Numeri interi relativi in ordine crescente e in ordine decrescente

    Per disporre una serie di numeri interi relativi in ordine crescente o in ordine decrescente bisogna tener presente che:

    - lo zero è maggiore di ogni numero negativo e minore di ogni numero positivo;

    - se due numeri relativi sono discordi (hanno segno opposto), quello negativo è il minore tra i due;

    - se due numeri relativi sono preceduti dal segno più, è minore quello con valore assoluto minore;

    - se due numeri relativi sono preceduti dal segno meno, è minore quello con valore assoluto maggiore.

    Esempio sulla disposizione in ordine crescente di numeri interi relativi

    Disporre i seguenti numeri in ordine crescente

    6 \ ; \ -2 \ ; \ 1 \ ; \ -7 \ ; \ -4 \ ; \ 5

    Svolgimento: ogni numero negativo è minore di ciascun numero positivo, dunque scriviamo prima i numeri negativi e poi quelli positivi

    -2 \ ; \ -7 \ ; \ -4 \ ; \ 6 \ ; \ 1 \ ; \ 5

    Tra i numeri negativi è minore quello con valore assoluto maggiore, pertanto

    -7 < -4 < -2

    mentre tra i numeri positivi è minore quello con valore assoluto minore

    1 < 5 < 6

    In conclusione, la sequenza dei numeri scritta in ordine crescente è

    -7 \ ; \ -4 \ ; \ -2 \ ; \ 1 \ ; \ 5 \ ; \ 6

    Esempio sulla disposizione in ordine decrescente di numeri interi relativi

    Riscrivere in ordine decrescente i numeri

    -3 \ ; \ 10 \ ; \ -21 \ ; \ -7 \ ; \ 14 \ ; \ 3

    Svolgimento: disporre una serie di numeri in ordine decrescente vuol dire scriverli dal più grande al più piccolo. Poiché ogni numero positivo è maggiore di ogni numero negativo, conviene scrivere prima i numeri positivi e poi quelli negativi

    10 \ ; \ 14 \ ; \ 3 \ ; \ -3 \ ; \ -21 \ ; \ -7

    Successivamente disponiamo i numeri positivi in ordine decrescente

    14 \ ; \ 10 \ ; \ 3

    e facciamo la stessa cosa per i numeri negativi, ricordando che è maggiore quello con valore assoluto minore

    -3 \ ; \ -7 \ ; \ -21

    La disposizione in ordine decrescente si ottiene unendo le due sequenze

    14 \ ; \ 10 \ ; \ 3 \ ; \ -3 \ ; \ -7 \ ; \ -21

    Frazioni in ordine crescente e in ordine decrescente

    Dal confronto tra frazioni sappiamo che se due frazioni hnno lo stesso denominatore, è minore quella con numeratore minore. Questa informazione basta e avanza per sistemare un insieme di frazioni in ordine crescente o decrescente.

    Per raggiungere l'obiettivo è sufficiente riscrivere tutte le frazioni facendo in modo che abbiano lo stesso denominatore, per poi confrontare tra loro i numeratori.

    Esempio sulla disposizione in ordine crescente di frazioni

    Disporre in ordine crescente le frazioni

    \frac{7}{2} \ ; \ \frac{3}{4} \ ; \ \frac{1}{6} \ ; \ \frac{5}{12} \ ; \ \frac{8}{3}

    Svolgimento: calcoliamo il minimo comun denominatore, ossia il minimo comune multiplo tra i denominatori

    \mbox{mcm}(2,4,6,12,3)=12

    Riscriviamo le frazioni in modo che abbiano 12 come denominatore. A tal proposito dobbiamo calcolare il nuovo numeratore di ciascuna frazione: dividiamo il minimo comune denominatore per il "vecchio" denominatore, e quindi moltiplichiamo il risultato per il "vecchio" numeratore

    \\ \frac{7}{2} \ \to \ \frac{(12 : 2) \times 7}{12} = \frac{6 \times 7}{12} = \frac{42}{12} \\ \\ \\ \frac{3}{4} \ \to \ \frac{(12 : 4) \times 3}{12} = \frac{3 \times 3}{12} = \frac{9}{12} \\ \\ \\ \frac{1}{6} \ \to \ \frac{(12 : 6) \times 1}{12} = \frac{2 \times 1}{12} = \frac{2}{12} \\ \\ \\ \frac{5}{12} \ \to \ \frac{(12 : 12) \times 5}{12} = \frac{1 \times 5}{12} = \frac{5}{12} \\ \\ \\ \frac{8}{3} \ \to \ \frac{(12 : 3) \times 8}{12} = \frac{4 \times 8}{12} = \frac{32}{12}

    Disponiamo le nuove frazioni dalla più piccola alla più grande ricordando che, a parità di denominatore, è minore la frazione con numeratore minore

    \frac{2}{12} \ ; \ \frac{5}{12} \ ; \ \frac{9}{12} \ ; \ \frac{32}{12} \ ; \ \frac{42}{12}

    Ci siamo quasi! Per concludere basta fare un passo indietro e sostituire ogni frazione con quella corrispondente

    \frac{1}{6} \ ; \ \frac{5}{12} \ ; \ \frac{3}{4} \ ; \ \frac{8}{3} \ ; \ \frac{7}{2}

    Esempio sulla disposizione in ordine decrescente di frazioni

    Trascrivere in ordine decrescente la seguente sequenza

    \frac{1}{2} \ ; \ 3 \ ; \ \frac{5}{6} \ ; \ \frac{2}{3} \ ; \ \frac{8}{9}

    Svolgimento: non lasciamoci trarre in inganno dal numero 3. Il procedimento da seguire è sempre lo stesso: basta trascrivere il numero 3 sotto forma di frazione con denominatore 1

    3=\frac{3}{1}

    A questo punto calcoliamo minimo comun denominatore

    \mbox{mcm}(2,1,6,3,9) = 18

    e rimaneggiamo i numeratori delle frazioni così che tutte abbiano 18 come denominatore

    \\ \frac{1}{2} \ \to \ \frac{(18 : 2) \times 1}{18} = \frac{9 \times 1}{18} = \frac{9}{18} \\ \\ \\ \frac{3}{1} \ \to \ \frac{(18 : 1) \times 3}{18} = \frac{18 \times 3}{18} = \frac{54}{18} \\ \\ \\ \frac{5}{6} \ \to \ \frac{(18 : 6) \times 5}{18} = \frac{3 \times 5}{18} = \frac{15}{18} \\ \\ \\ \frac{2}{3} \ \to \ \frac{(18 : 3) \times 2}{18} = \frac{6 \times 2}{18} = \frac{12}{18} \\ \\ \\ \frac{8}{9} \ \to \ \frac{(18 : 9) \times 8}{18} = \frac{2 \times 8}{18} = \frac{16}{18}

    Riscrivendo le frazioni risultanti dalla più grande alla più piccola

    \frac{54}{18} \ ; \ \frac{16}{18} \ ; \ \frac{15}{18} \ ; \ \frac{12}{18} \ ; \ \frac{9}{18}

    possiamo concludere che la disposizione in ordine decrescente dei numeri assegnati è

    3 \ ; \ \frac{8}{9} \ ; \ \frac{5}{6} \ ; \ \frac{2}{3} \ ; \ \frac{1}{2}

    Numeri decimali in ordine crescente e in ordine decrescente

    Per disporre una serie di numeri decimali dal più grande al più piccolo, o viceversa, basta ricordare che:

    - se due numeri decimali hanno parte intera diversa, è minore quello con parte intera minore;

    - se due numeri decimali hanno la stessa parte intera, è minore quello con parte decimale minore.

    In alternativa si può risalire alla frazione generatrice di ciascun numero per poi procedere al riordino delle frazioni, ma quest'ultimo metodo è decisamente più lungo e faticoso.

    Esempio sulla disposizione in ordine crescente di numeri decimali

    Scrivere in ordine crescente i numeri

    3,25 \ ; \ 3,1 \ ; \ 4,4 \ ; \ 1,6 \ ; \ 1,75 \ ; \ 2,36 \ ; \ 2,2

    Svolgimento: per il momento disinteressiamoci della parte decimale e riordiniamo i numeri disponendo in ordine crescente le parti intere

    1,6 \ ; \ 1,75 \ ; \ 2,36 \ ; \ 2,2 \ ; \ 3,25 \ ; \ 3,1 \ ; \ 4,4

    Per evitare di confonderci riscriviamoli in modo che abbiano lo stesso numero di cifre decimali

    1,60 \ ; \ 1,75 \ ; \ 2,36 \ ; \ 2,20 \ ; \ 3,25 \ ; \ 3,10 \ ; \ 4,40

    A parità di parte intera è minore il numero con parte decimale minore, dunque la corretta sequenza in ordine crescente è

    1,60 \ ; \ 1,75 \ ; \ 2,20 \ ; \ 2,36 \ ; \ 3,10 \ ; \ 3,25 \ ; \ 4,40

    o meglio:

    1,6 \ ; \ 1,75 \ ; \ 2,2 \ ; \ 2,36 \ ; \ 3,1 \ ; \ 3,25 \ ; \ 4,4

    Esempio sula disposizione in ordine decrescente di numeri decimali

    Riscrivere in ordine decrescente i numeri

    0,81 \ ; \ 0,93 \ ; \ 0,05 \ ; \ 0,3 \ ; \ 0,37 \ ; \ 0,89

    Svolgimento: i numeri decimali della sequenza hanno tutti la stessa parte intera, dunque per disporli in ordine decrescente basta riordinare le parti decimali dalla maggiore alla minore

    0,93 \ ; \ 0,89 \ ; \ 0,81 \ ; \ 0,37 \ ; \ 0,3 \ ; \ 0,05

    Potenze in ordine crescente e in ordine decrescente

    Per riordinare una serie di potenze con base positiva, in ordine crescente o in ordine decrescente, conviene ricorrere alle proprietà delle potenze e cercare di riscriverle in modo che abbiano o la stessa base o lo stesso esponente. A questo punto:

    - a parità di esponente è minore la potenza con base minore;

    - a parità di base è minore la potenza con esponente minore.

    Se non riuscissimo a riscrivere le potenze in modo che abbiano la stessa base o lo stesso esponente, non potremmo fare altro che calcolare le potenze e quindi riordinare i numeri che ne scaturiscono.

    Esempio sulla disposizione in ordine crescente di potenze

    Disporre in ordine crescente le potenze

    4^2 \ ; \ \left(\frac{1}{2}\right)^4 \ ; \ 8^3 \ ; \ 32^2 \ ; \ \left(\frac{1}{4}\right)^3

    Svolgimento: per il momento concentriamoci sulle potenze con base intera e scomponiamo le basi in fattori primi

    4 = 2^2 \ \ ; \ \ 8=2^3 \ \ ; \ \ 32=2^5

    Per com'è definita la potenza di una potenza abbiamo che

    \\ 4^2 = \left(2^2\right)^2 = 2^4 \\ \\ 8^3 = \left(2^3\right)^3 = 2^9 \\ \\ 32^2 = \left(2^5\right)^2 = 2^{10}

    Dalla definizione di potenza con esponente negativo sappiamo che, in generale

    a^{-n} = \left(\frac{1}{a}\right)^n

    Di conseguenza

    \\ \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 2^{-4} \\ \\ \\ \left(\frac{1}{4}\right)^3 = \left(\frac{1}{2^2}\right)^3 = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^6 = 2^{-6}

    Abbiamo così riscritto tutte le potenze con la stessa base, dunque per disporle in ordine crescente basta ordinare gli esponenti dal più piccolo al più grande

    2^{-6} \ ; \ 2^{-4} \ ; \ 2^4 \ ; \ 2^9 \ ; \ 2^{10}

    Sostituiamo ogni potenza con quella iniziale e abbiamo finito

    \left(\frac{1}{4}\right)^3 \ ; \ \left(\frac{1}{2}\right)^4 \ ; \ 4^2 \ ; \ 8^3 \ ; \ 32^2

    Esempio sulla disposizione in ordine decrescente di potenze

    Trascrivere le seguenti potenze in ordine decrescente

    3^6 \ ; \ \left(\frac{1}{2}\right)^3 \ ; \ 7^{18} \ ; \ 8^{-3} \ ; \ 5^{12}

    Svolgimento: se consideriamo le potenze della sequenza che hanno basi intere, notiamo che le varie basi sono numeri primi tra loro. Non siamo in grado di riscriverle in modo che abbiano la stessa base. :(

    Se però ci accorgiamo che gli esponenti sono tutti multipli di 3

    6=3 \times 2 \ \ ; \ \ 18=3 \times 6 \ \ ; \ \ -3=3 \times (-1) \ \ ; \ \ 12= 3 \times 4

    possiamo riscrivere le potenze facendo in modo che abbiano lo stesso esponente

    \\ 3^6 = 3 ^{3 \times 2} = \left(3^2\right)^3 \\ \\ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 \\ \\ \\ 7^{18}=7^{3 \times 6} = \left(7^6\right)^3 \\ \\ 8^{-3} = \left(\frac{1}{8}\right)^3 \\ \\ \\ 5^{12}=5^{3 \times 4} = \left(5^4\right)^3

    per poi riordinarle disponendo le basi in ordine decrescente

    \left(7^6\right)^3 \ ; \ \left(5^4\right)^3 \ ; \ \left(3^2\right)^3 \ ; \ \left(\frac{1}{2}\right)^3 \ ; \ \left(\frac{1}{8}\right)^3

    Abbiamo finito! Dobbiamo solamente sostituire ogni potenza della sequenza con la sua forma iniziale

    7^{18} \ ; \ 5^4 \ ; \ 3^6 \ ; \ \left(\frac{1}{2}\right)^3 \ ; \ 8^{-3}

    È tutto!

    Risposta di Galois
 
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