Soluzioni
  • Prima di vedere quali sono le proprietà delle esponenziali è necessaria una piccola premessa. Un'esponenziale è una potenza a esponente reale, cioè una potenza con base fissata nell'insieme dei numeri reali positivi ed esponente variabile nell'insieme \mathbb{R} dei numeri reali.

    Un'esponenziale si presenta quindi nella forma

    a^x \ \ \mbox{ con } a \in \mathbb{R}^+-\{0\}, \ x\in \mathbb{R}

    In particolare se a=1 allora 1^x=1 per ogni x \in \mathbb{R}.

    Chiarito ciò, le proprietà delle esponenziali non sono altro che le proprietà delle potenze rielaborate in questo contesto.

    Proprietà delle esponenziali

    Siano a,b due numeri reali positivi e non nulli, e siano x,y due numeri reali.

    1) Prodotto tra esponenziali con la stessa base - esponenziale con somma all'esponente

    Il prodotto tra due esponenziali con la stessa base è un'esponenziale che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti

    a^x \cdot a^y = a^{x+y}

    Leggere la precedente uguaglianza da destra verso sinistra non cambia nulla all'atto teorico, ma così facendo si mette in risalto come comportarsi con un'esponenziale il cui l'esponente è una somma

    a^{x+y} = a^x \cdot a^y

    2) Rapporto tra esponenziali con la stessa base - esponenziali con differenza all'esponente

    Il rapporto di due esponenziali con la stessa base è un'esponenziale che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti

    \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}

    Rileggendo tale uguaglianza in favore di a^{x-y} vediamo come si può scrivere un'esponenziale che ha una differenza all'esponente

    a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}

    3) Prodotto tra esponenziali con la stessa base - esponenziali con prodotto alla base

    Il prodotto tra due esponenziali con lo stesso esponente è un'esponenziale che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente

    a^x \cdot b^x = (ab)^x

    Per sapere cosa fare in caso di esponenziali che presentano un prodotto alla base basta invertire la precedente uguaglianza

    (ab)^x=a^x \cdot b^x

    4) Rapporto tra esponenziali con la stessa base - esponenziali con rapporto alla base

    Il rapporto tra due esponenziali con lo stesso esponente è un'esponenziale che ha per base il rapporto delle basi e per esponente lo stesso esponente

    \frac{a^x}{b^x} = \left(\frac{a}{b}\right)^x

    Viceversa, nel caso di un'esponenziale che ha per base un rapporto, sfruttando la stessa proprietà possiamo scriverla sotto forma di rapporto tra esponenziali

    \left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x}

    5) Esponenziale elevato a potenza - esponenziali con prodotto all'esponente

    Elevare un'esponenziale a potenza equivale a elevare la base al prodotto degli esponenti

    \left(a^x\right)^y=a^{xy}

    Viceversa, ogni esponenziale che presenta un prodotto all'esponente può essere riscritta come una potenza di potenza

    a^{xy} = \left(a^x\right)^y

    6) Esponenziali con segno meno all'esponente

    Un'esponenziale con segno meno all'esponente equivale a un'esponenziale che ha per base il reciproco della base iniziale, e per esponente l'opposto di quello iniziale

    a^{-x} = \left(\frac{1}{a}\right)^x

    Esempi di applicazione delle proprietà esponenziali

    Vediamo ora qualche esempio di applicazione delle proprietà elencate, lasciando a voi il compito di dedurre quali sono state usate.

    2^{2x+y} = 2^{2x} \cdot 2^y = {(2^2)}^x \cdot 2^y = 4^x \cdot 2^y\\ \\ \\ 3^{2x-y} = \frac{3^{2x}}{3^y} = \frac{{(3^{2})}^x}{3^y} = \frac{9^x}{3^y}\\ \\ \\ 5^{-2x} = \left(\frac{1}{5}\right)^{2x} = \left(\left(\frac{1}{5}\right)^2\right)^x = \left(\frac{1}{25}\right)^x

    Esponenziali con base negativa

    Da ultimo vogliamo risolvere un dubbio piuttosto comune: perché si suppone che la base di un'esponenziale sia maggiore di zero?

    Estendo la definizione di esponenziale al caso di basi negative si andrebbe incontro a qualche ambiguità. Se ad esempio considerassimo la potenza

    (-8)^{\frac{1}{3}}

    per come sono definite le potenze con esponente fratto sarebbe

    (-8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-8} = -2

    Analogamente

    (-8)^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64}=2

    Fin qui potrebbe sembrare che non ci siano problemi, ma se ci facciamo caso gli esponenti delle due potenze sono uguali, infatti

    \frac{1}{3} = \frac{2}{6}

    ma al tempo stesso -2 \neq 2 e quindi

    (-8)^{\frac{1}{3}} \neq (-8)^{\frac{2}{6}}

    Per farla breve, estendendo l'insieme di definizione della base di a^x all'insieme dei numeri reali verrebbero meno alcune delle proprietà elencate, e per evitare problemi si preferisce considerare a \in \mathbb{R}^+-\{0\}.

    Tuttavia ciò non vieta che si possano prendere in esame esponenziali con base negativa: basta solo procedere con molta cautela e studiarle caso per caso.

    ***

    Nel concludere vi lasciamo i rimandi a qualche lezione di approfondimento:

    - equazioni esponenziali;

    - funzione esponenziale con base maggiore di 1;

    - funzione esponenziale con base compresa tra 0 e 1.

    Risposta di Galois
 
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