Soluzioni
  • Una proporzione con frazioni è una proporzione in cui uno o più termini sono una frazione o, più in generale, sono proporzioni che contengono almeno una frazione. Per intenderci:

    \\ \frac{5}{2}:\frac{3}{2} = \frac{5}{6}:\frac{1}{2} \\ \\ \\ 4:\frac{1}{2}=16:2 \\ \\ \\ \left(\frac{3}{2}-\frac{2}{5}\right):x=11:5 \\ \\ \\ \frac{5}{2}:\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{8}\right) = x:\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)

    sono tutti esempi di proporzioni con frazioni.

    Come risolvere una proporzione con frazioni e termine incognito

    Solitamente per trovare il valore del termine incognito x di una qualsiasi proporzione si applica la proprietà fondamentale, secondo cui il prodotto dei medi uguaglia il prodotto degli estremi.

    In questo modo la proporzione si trasforma in un'uguaglianza tra prodotti, uno dei quali ha un fattore che contiene il termine incognito x. Per trovarne il valore basta dividere entrambi i prodotti per il coefficiente moltiplicativo di x, e svolgere i relativi calcoli.

    Come spesso accade un esempio vale più di mille parole. Per semplicità dimentichiamoci per un attimo delle frazioni, e vediamo come applicare la proprietà fondamentale per determinare il valore dell'incognita nella proporzione

    3:4 = x:12

    Il prodotto dei medi deve essere uguale al prodotto degli estremi

    4 \times x = 12 \times 3

    Dividiamo entrambi i prodotti per il coefficiente della x

    x=\frac{12 \times 3}{4}

    e semplifichiamo

    x=\frac{36}{4}=9

    Nelle proporzioni con frazioni in cui uno dei termini è incognito si procede allo stesso modo, con l'unica differenza che ci si ritrova a dover svolgere operazioni tra frazioni.

    Esempi sulla risoluzione di proporzioni con frazioni e con l'incognita

    Vediamo tre esercizi sulle proporzioni con frazioni, via via più complessi, in cui è richiesto di determinare il valore dell'incognita.

    1) Risolvere la proporzione

    x:\frac{1}{2}=\frac{3}{5}:\frac{2}{5}

    Svolgimento: la proprietà fondamentale permette di riscrivere la proporzione come uguaglianza tra il prodotto degli estremi e quello dei medi

    \\ x \times \frac{2}{5} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} \\ \\ \\ \frac{2}{5}x=\frac{3}{10}

    Dividiamo entrambi i membri dell'uguaglianza per \frac{2}{5} o, se preferite, moltiplichiamo per \frac{5}{2}

    x=\frac{3}{10} \times \frac{5}{2} = \frac{3}{4}

    Possiamo così concludere che il termine incognito della proporzione è x=\frac{3}{4}.

    2) Determinare il valore del termine incognito della proporzione

    \left(1-\frac{5}{12}\right) : \left(\frac{5}{6}+\frac{1}{3}\right) = x : \left(\frac{9}{8}-\frac{5}{8}\right)

    Svolgimento: semplifichiamo ciascun termine della proporzione calcolando le somme e le differenze tra frazioni che vi compaiono

    \\ 1-\frac{5}{12} = \frac{12-5}{12}=\frac{7}{12} \\ \\ \\ \frac{5}{6}+\frac{1}{3} = \frac{5+2}{6}=\frac{7}{6} \\ \\ \\ \frac{9}{8}-\frac{5}{8} = \frac{9-5}{8} = \frac{4}{8}=\frac{1}{2}

    Possiamo quindi riscrivere la proporzione iniziale nella forma

    \frac{7}{12} : \frac{7}{6} = x : \frac{1}{2}

    Da qui, la proprietà fondamentale delle proporzioni ci consente di passare a

    \frac{7}{6}x = \frac{7}{12} \times \frac{1}{2}

    ossia

    \frac{7}{6}x = \frac{7}{24}

    e quindi

    x=\frac{7}{24} \times \frac{6}{7} = \frac{1}{4}

    3) Le proporzioni possono talvolta contenere, nei vari termini, vere e proprie espressioni con frazioni. Ad esempio...

    Determinare il valore dell'incognita x nella proporzione

    \left[\frac{4}{5} \times \left(\frac{5}{6}-\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{5}\right] : \left(1- \frac{1}{3}\right) = x:\left[\left(\frac{1}{8}+\frac{3}{4}\right):\frac{7}{4}+\frac{1}{2}\right]

    Svolgimento: svolgiamo a parte le operazioni tra frazioni nel primo, nel secondo e nel quarto termine della proporzione.

    Primo termine

    \frac{4}{5} \times \left(\frac{5}{6}-\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{5}=

    Prima la differenza tra frazioni nella coppia di parentesi tonde

    \\ =\frac{4}{5} \times \left(\frac{10-3}{12}\right)-\frac{1}{5} = \\ \\ \\ = \frac{4}{5} \times \frac{7}{12}-\frac{1}{5}=

    poi, in accordo con l'ordine delle operazioni, svolgiamo il prodotto tra frazioni e successivamente la differenza

    =\frac{7}{15}-\frac{1}{5} = \frac{7-3}{15} = \frac{4}{15}

    Secondo termine

    1-\frac{1}{3} = \frac{3-1}{3}=\frac{2}{3}

    Quarto termine

    \left(\frac{1}{8}+\frac{3}{4}\right):\frac{7}{4}+\frac{1}{2}=

    Qui calcoliamo prima la somma tra frazioni nella coppia di parentesi tonde

    \\ = \frac{1+6}{8} : \frac{7}{4} + \frac{1}{2} = \frac{7}{8} : \frac{7}{4} + \frac{1}{2}

    dopodiché dobbiamo svolgere la divisione tra frazioni e, a seguire, la somma

    = \frac{7}{8} \times \frac{4}{7} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}=1

    Ci siamo: abbiamo tutto quello che ci serve per riscrivere la proporzione iniziale in una forma più abbordabile :)

    \frac{4}{15} : \frac{2}{3}=x:1

    Qui, al solito, applichiamo la proprietà fondamentale

    \frac{2}{3}x=\frac{4}{15} \times 1

    ossia

    \frac{2}{3}x=\frac{4}{15}

    Dividendo entrambi i membri per \frac{2}{3}, ossia moltiplicando per \frac{3}{2}, si ottiene

    x=\frac{4}{15} \times \frac{3}{2} = \frac{2}{5}

    e abbiamo finito.

    ***

    Importante! Non perdetevi gli approfondimenti correlati:

    - rapporti e proporzioni;

    - proporzioni continue;

    - proporzioni con due incognite.

    Risposta di Galois
 
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