Soluzioni
  • In Matematica il concetto di rapporto viene introdotto dopo aver studiato i vari insiemi numerici e dopo aver definito le nozioni di grandezze omogene e non omogenee.

    Solitamente si comincia definendo il rapporto tra numeri, per poi osservare che due numeri possono anche rappresentare le misure di due grandezze. Ciò permette di definire la nozione di rapporto tra grandezze omogenee e quella di rapporto tra grandezze non omogenee.

    Rapporto tra due numeri

    Dati due numeri reali a,b, con b diverso da zero, si definisce rapporto tra a e b il quoziente ottenuto dividendo a per b.

    Il rapporto tra due numeri reali è ancora un numero reale e si può esprimere come divisione

    a:b

    oppure sotto forma di frazione

    \frac{a}{b}

    Esempio di rapporto tra numeri

    Il quoziente tra i numeri a=5, \ b=2 è 2,5, quindi tale è il loro rapporto. Possiamo scriverlo come divisione

    5:2=2,5

    o come frazione

    \frac{5}{2}=2,5

    Nomi dei termini di un rapporto

    I numeri a,b che definiscono un rapporto prendono il nome di termini del rapporto:

    - il primo numero a si chiama antecedente;

    - il secondo numero b è detto conseguente.

     

    Termini di un rapporto

     

    Rapporto tra grandezze

    Prima di vedere cos'è il rapporto tra grandezze, e di spiegare qual è la differenza tra il rapporto di grandezze omogenee e il rapporto di grandezze non omogenee, è bene richiamare brevemente i concetti che useremo.

    Una grandezza è una qualsiasi proprietà misurabile, la cui misura può essere espressa mediante un numero seguito da un'apposita unità di misura.

    Due grandezze si dicono omogenee se possono essere espresse con la stessa unità di misura.

    Due grandezze si dicono non omogenee se non si possono esprimere con la medesima unità di misura.

    Per intenderci la lunghezza di un segmento, il perimetro di un quadrato e il volume di un cubo sono grandezze. Considerandole a coppie si vede che la lunghezza di un segmento e il perimetro di un quadrato sono omogenee, infatti entrambe possono essere espresse mediante una medesima misura di lunghezza.

    Al contrario la lunghezza di un segmento e il volume di un cubo sono grandezze non omogenee, così come sono non omogenee il perimetro di un quadrato e il volume di un cubo. Il volume infatti deve essere espresso mediante un'unità di misura di volume.

    Con queste premesse possiamo definire il rapporto tra grandezze come il rapporto tra le loro misure, ma vi è una sostanziale differenza tra il rapporto tra grandezze omogenee e quello tra grandezze non omogenee, quindi è bene analizzare i due casi separatamente.

    Rapporto tra grandezze omogenee

    Il rapporto di due grandezze omogenee riportate con la stessa unità di misura è il quoziente tra le loro misure, ed è un numero puro, cioè non richiede un'unità di misura.

    In particolare se il rapporto è un numero razionale le grandezze si dicono commensurabili, mentre se il rapporto è un numero irrazionale le grandezze si dicono incommensurabili.

    Esempio (calcolo del rapporto tra grandezze omogenee)

    Calcolare il rapporto tra due segmenti, il primo lungo 56 cm e il secondo lungo 0,8 dm.

    Svolgimento: chiamiamo \overline{AB} il primo segmento e \overline{CD} il secondo.

    Sappiamo che

    \overline{AB}=56 \mbox{ cm} \ \ ; \ \ \overline{CD}=0,8 \mbox{ dm}

    Per calcolarne il rapporto è necessario che le rispettive misure siano riportate con la stessa unità di misura, dunque decidiamo di convertire i decimetri in centimetri

    0,8 \mbox{ dm} = (0,8 \times 10) \mbox{ cm} = 8 \mbox{ cm}

    Così facendo

    \overline{AB}=56 \mbox{ cm} \ \ ; \ \ \overline{CD}=8 \mbox{ cm}

    e il loro rapporto è un numero puro, dato dal quoziente tra le loro misure

    \overline{AB} : \overline{CD} = \frac{\overline{AB}}{\overline{CD}} = \frac{56 \mbox{ cm}}{8 \mbox{ cm}} = 7

    Rapporto tra grandezze non omogenee

    Il rapporto tra due grandezze non omogenee è il quoziente tra le loro misure, e il risultato è una grandezza derivata che dipende dalle unità di misura delle grandezze iniziali.

    Esempio (rapporto tra grandezze non omogenee)

    Siano d=360 \mbox{ km} la distanza percorsa da un motociclista e t=5 \mbox{ h} il tempo impiegato per percorrerla.

    Calcolando il rapporto tra distanza e tempo

    \frac{d}{t}=\frac{360 \mbox{ km}}{5 \mbox{ h}} = 72 \ \frac{\mbox{km}}{\mbox{h}}

    otteniamo un'altra grandezza, detta velocità media, che dipende dall'unità di misura della distanza (km) e da quella del tempo (ore).

    ***

    La definizione di rapporto non è fine a se stessa e serve a introdurre concetti leggermente più avanzati, come le proporzioni, quindi è bene non avere dubbi in merito.

    Se volete saperne di più sul legame tra rapporti e proporzioni - click!

    Risposta di Galois
 
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