Soluzioni
  • Nelle proporzioni a due incognite compaiono due incognite distinte, generalmente indicate con x e y, che vanno determinate sfruttando opportunamente le proprietà delle proporzioni.

    Alcuni esempi di proporzioni con due incognite sono:

    \begin{matrix} 12:x = y:5 && ; && x:y=14:4 \\ \\ (x+y):x=1:2 && ; && 2x:y=x:3 \\ \\ x : \dfrac{13}{5} = y : \dfrac{2}{3} && ; && x:\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}:y\end{matrix}

    Come risolvere una proporzione con due incognite

    Generalmente le proporzioni a due incognite che vengono assegnate alla scuola media o al primo anno delle scuole superiori non sono molto complicate. Si presentano in una delle seguenti forme, in cui:

    - le incognite fanno parte dello stesso rapporto

    x:y=a:b \ \ ; \ \ a:b=x:y

    - le incognite sono gli antecedenti o i conseguenti

    x:a=y:b \ \ ; \ \ a:x=b:y

    In tutti i casi a,b sono numeri reali qualsiasi non nulli.

    Le tracce degli esercizi forniscono inoltre un'ulteriore condizione, ad esempio il valore della somma oppure della differenza tra le due incognite, e per determinarne i valori basta applicare le proprietà delle proporzioni correttamente.

    Proporzioni a due incognite con somma o con differenza

    Le proporzioni con due incognite in cui è noto anche il valore della somma o quello della differenza tra x,y si risolvono in modi distinti, a seconda della posizione che le incognite assumono all'interno della proporzione.

    Caso 1: proporzioni con due incognite nello stesso rapporto

    Nelle proporzioni della forma

    x:y=a:b \\ \\ a:b=x:y

    se è nota la somma si applica la proprietà del comporre, così da ricondursi rispettivamente alle proporzioni

    (x+y):x=(a+b):a\\ \\ (a+b):a=(x+y):x

    Se invece è nota la differenza tra x,y si usa la proprietà dello scomporre, così da avere rispettivamente

    (x-y):x=(a-b):a \\ \\ (a-b):a=(x-y):x

    A questo punto, a seconda dei casi, si sostituisce la somma o la differenza con i valori assegnati. Così facendo si ottiene una proporzione nella sola incognita x, che si risolve applicando la proprietà fondamentale.

    Non scoraggiatevi se il metodo sembra complicato a una prima lettura; i seguenti esempi vi faranno subito cambiare idea. ;)

    Esempio (proporzione a due incognite con somma)

    Determinare il valore di x e di y nella seguente proporzione

    x:y=7:2

    sapendo che x+y=144.

    Svolgimento: applichiamo la proprietà del comporre, secondo cui la somma tra i primi due termini sta al primo come la somma tra il terzo e il quarto sta al terzo

    (x+y):x=(7+2):7

    Sostituiamo x+y con il valore assegnato e calcoliamo la somma tra 7 e 2. Ciò ci permette di passare a una proporzione con la sola incognita x

    144:x = 9:7

    Dalla proprietà fondamentale sappiamo che il prodotto dei medi uguaglia il prodotto degli estremi, dunque

    \\ 9x = 144 \times 7 \\ \\ 9x=1008 \\ \\ x=\frac{1008}{9} \\ \\ x=112

    Ora che conosciamo il valore di x, possiamo sfruttare la relazione

    x+y=144

    per calcolare il valore di y

    y=144-x=144-112=32

    e l'esercizio è concluso.

    Esempio (proporzione a due incognite con differenza)

    Sapendo che x-y=42, ricavare i valori delle incognite nella proporzione

    15:8=x:y

    Svolgimento: poiché disponiamo della differenza tra le incognite dobbiamo applicare la proprietà dello scomporre, che permette di riscrivere la proporzione come

    (15-8):15 = (x-y):x

    Calcoliamo la differenza tra 15 e 8, e sostituiamo x-y=42

    7:15=42:x

    Per la proprietà fondamentale

    \\ 7x = 15 \times 42 \\ \\ 7x=630

    Dividendo ambo i membri per 7 otteniamo

    x=90

    e dalla relazione

    x-y=42

    risaliamo al valore di y

    y=x-42=90-42=48

    Finito!

    Caso 2: proporzioni con antecedenti o conseguenti incogniti

    Nelle proporzioni del tipo

    x:a=y:b\\ \\ a:x=b:y

    basta applicare la proprietà del permutare i medi, così da riscriverle come proporzioni con le incognite nello stesso rapporto

    x:y=a:b\\ \\ a:b=x:y

    per le quali conosciamo già il metodo risolutivo.

    Esempio (proporzione con antecedenti incogniti)

    Trovare i valori di x,y nella proporzione

    x:1 = y:2

    sapendo che x+y=\frac{7}{3}.

    Svolgimento: le due incognite sono gli antecedenti della proporzione, dunque permutiamo i medi

    x:y=1:2

    per poi applicare la proprietà del comporre e sostituire la somma delle incognite col valore assegnato

    \\ (x+y):x = (1+2):1 \\ \\ \frac{7}{3}:x = 3:1

    A questo punto facciamo intervenire la proprietà fondamentale delle proporzioni e ricaviamo il valore di x

    \\ 3x=\frac{7}{3} \times 1 \\ \\ 3x=\frac{7}{3} \\ \\ x=\frac{7}{9}

    Infine, dalla relazione

    x+y=\frac{7}{3}

    calcoliamo il valore di y

    y=\frac{7}{3}-x=\frac{7}{3}-\frac{7}{9} = \frac{14}{9}

    ***

    Se le proporzioni assumono forme diverse da quelle appena trattate, o se invece della somma o della differenza delle incognite vengono fornite altre informazioni, generalmente non sono previsti metodi di risoluzione standard. Più precisamente: potrebbero esserci dei metodi standard, ma richiederebbero strumenti più avanzati di quelli che si conoscono alle scuole medie e al primo anno delle superiori.

    È tutto! Per chi volesse approfondire:

    - rapporti e proporzioni;

    - proporzioni continue;

    - proporzioni online.

    Risposta di Galois
 
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