Soluzioni
  • Per definire la composizione tra applicazioni lineari abbiamo bisogno di due trasformazioni lineari tali che lo spazio d'arrivo (o codominio) della prima coincida con lo spazio di partenza (o dominio) dell'altra.

    Per fissare le idee supponiamo che U,V,W siano spazi vettoriali definiti sullo stesso campo \mathbb{K} e siano

    \\ F:V \to W \\ \\ G:W \to U

    due applicazioni lineari.

    Proprio come avviene per la composizione tra funzioni, si definisce applicazione lineare composta la trasformazione

    \\ G \circ F: V \to U \\ \\ \mathbf{v} \in V \mapsto (G\circ F)(\mathbf{v})=G(F(\mathbf{v}))

    A garantirci che l'applicazione composta è ancora un'applicazione lineare ci pensa il seguente teorema.

    Siano U, \ V, \ W spazi vettoriali su uno stesso campo \mathbb{K} e siano F:V \to W, \ G:W \to U applicazioni lineari. La composizione G \circ F: V \to U è ancora lineare.

    Dimostrazione

    In accordo con la definizione di applicazione lineare, dobbiamo dimostrare che per ogni \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \in V e per ogni \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{K}:

    (G\circ F)(\lambda_1 \mathbf{v}_1 + \lambda_2 \mathbf{v}_2) = \lambda_1 (G \circ F)(\mathbf{v}_1)+\lambda_2 (G \circ F)(\mathbf{v}_2)

    Siano allora \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \in V,\ \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{K} e consideriamo

    (G\circ F)(\lambda_1 \mathbf{v}_1 + \lambda_2 \mathbf{v}_2)

    Per definizione di composizione tra applicazioni lineari possiamo scrivere

    (G\circ F)(\lambda_1 \mathbf{v}_1 + \lambda_2 \mathbf{v}_2)=G(F(\lambda_1 \mathbf{v}_1 + \lambda_2 \mathbf{v}_2))

    Per ipotesi F:V \to W è lineare, dunque

    G(F(\lambda_1 \mathbf{v}_1+\lambda_2 \mathbf{v}_2))=G(\lambda_1 F(\mathbf{v}_1)+\lambda_2 F(\mathbf{v}_2))

    L'applicazione F ha come codominio lo spazio W, dunque

    \lambda_1 F(\mathbf{v}_1)+\lambda_2 F(\mathbf{v}_2) \in W

    Anche G:W \to U è un'applicazione lineare, cosicché

    G(\lambda_1 F(\mathbf{v}_1)+\lambda_2 F(\mathbf{v}_2))= \\ \\ =\lambda_1 G(F(\mathbf{v}_1))+\lambda_2 G(F(\mathbf{v}_2))= \\ \\ = \lambda_1 (G \circ F)(\mathbf{v}_1)+\lambda_2 (G \circ F)(\mathbf{v}_2)

    Ciò prova la linearità dell'applicazione composta G \circ F e la dimostrazione può dirsi conclusa.

    Come comporre due applicazioni lineari

    All'atto pratico la composizione tra applicazioni lineari non è nulla di diverso dalla consueta composizione tra funzioni, con cui siamo abituati a lavorare sin dalle scuole superiori.

    Per intenderci, per comporre le applicazioni F:V \to W e G:W \to U basta prendere un qualsiasi vettore \mathbf{v} \in V, applicare F e, al risultato, applicare G.

    Ciò che si ottiene è G(F(\mathbf{v})), ossia la forma esplicita dell'applicazione lineare composta.

    Esempio di composizione tra applicazioni lineari

    Comporre l'applicazione

    F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \mbox{ definita da } F(x,y,z)=(x+y, \ x-y, \ x+y+z)

    con l'applicazione

    G:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\mbox{ tale che }G(x,y,z)=(2x+y-z, \ 3x-y)

    L'applicazione composta è

    G \circ F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2

    che a un generico vettore (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 associa

    \\ G(F(x,y,z))= \\ \\ =G(x+y, \ x-y, \ x+y+z) = \\ \\ = (2(x+y)+(x-y)-(x+y+z), \ 3(x+y)-(x-y)) = \\ \\ = (2x+2y+x-y-x-y-z, \ 3x+3y-x+y) = \\ \\ = (2x-z, \ 2x+4y)

    In definitiva

    G \circ F :\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\ \ ;\ \ (G \circ F)(x,y,z)=(2x-z, \ 2x+4y)

    Composizione tra applicazioni lineari e prodotto tra matrici

    Per rispondere all'ultima domanda sul legame tra la composizione tra trasformazioni lineari e il prodotto tra matrici, assumiamo che F: V \to W e G:W \to U siano due applicazioni lineari e che A_F e A_G siano le matrici associate a F e a G rispetto a determinate basi degli spazi vettoriali su cui sono definite.

    Si dimostra che la matrice associata all'applicazione lineare composta G \circ F è uguale al prodotto tra le matrici associate a G e a F, ossia

    A_{G \circ F} = A_GA_F

    Esempio

    Riprendiamo le applicazioni lineari del precedente esempio

    \\ F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \ \ ;\ \ F(x,y,z)=(x+y, \ x-y, \ x+y+z) \\ \\ G:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \ \ ;\ \ G(x,y,z)=(2x+y-z, \ 3x-y)

    Fissate le basi canoniche di \mathbb{R}^3 e di \mathbb{R}^2, le matrici rappresentative di F e G rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio sono

    \\ A_F=\begin{pmatrix}1&1&0 \\ 1&-1&0 \\ 1&1&1\end{pmatrix} \\ \\ \\ A_G=\begin{pmatrix}2&1&-1 \\ 3&-1&0 \end{pmatrix}

    La matrice prodotto A_GA_F è

    A_GA_F = \begin{pmatrix}2&1&-1 \\ 3&-1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1&0 \\ 1&-1&0 \\ 1&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0&-1 \\ 2&4&0\end{pmatrix}

    e, come possiamo facilmente notare, essa coincide con la matrice associata all'applicazione lineare composta

    G \circ F :\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \ \ ;\ \ (G \circ F)(x,y,z)=(2x-z, \ 2x+4y)

    rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio, che è proprio

    A_{G \circ F} = \begin{pmatrix}2&0&-1 \\ 2&4&0\end{pmatrix}

    ***

    È tutto! Per fare un ripasso della teoria sulle applicazioni lineari vi rimandiamo alla pagina del link.

    Risposta di Galois
 
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Algebra Lineare