Dimensione e base dell'intersezione di sottospazi definiti da sistemi lineari
Come si calcolano la dimensione e una base dell'intersezione di due sottospazi definiti da equazioni cartesiane? Potreste riportare il metodo generale da usare e applicarlo per risolvere il seguente esercizio?
Determinare una base e la dimensione dell'intersezione dei sottospazi di 
Per determinare la dimensione e una base dell'intersezione di due sottospazi di
definiti da equazioni cartesiane si deve considerare il sistema lineare omogeneo composto dalle equazioni che definiscono i due sottospazi, per poi estrarre una base dell'insieme delle soluzioni del sistema, che è una base per il sottospazio intersezione.I due sottospazi assegnati sono
Costruiamo il sistema formato dalle loro equazioni
e calcoliamone le soluzioni.
La matrice dei coefficienti associata al sistema è
![A = [1 -1 2 ; 1 -3 0 ; 1 5 8]](/images/joomlatex/7/1/71175b3d6346c21ae115321b4764eaad.gif)
Applicando la regola di Sarrus lasciamo a voi il compito di verificare che il suo determinante è nullo.
La sottomatrice di ordine 2 estratta da
eliminando la prima colonna e la terza riga ha determinante non nullo![det[-1 2 ;-3 0] = 6 ≠ 0](/images/joomlatex/b/8/b897f83a71fd6c9728cf890ae861c0aa.gif)
dunque il rango di
è 2, e per il teorema di Rouché Capelli il sistema ammette 
soluzioni.Assegniamo a 1 incognita il ruolo di parametro libero. Poniamo, ad esempio,
e ricaviamo il valore di 
in funzione di 
Le
soluzioni del sistema sono
Scritte sotto forma di combinazione lineare forniscono il vettore che forma una base per lo spazio delle soluzioni del sistema, e quindi una base per
Dunque
La base è formata da un solo vettore, quindi la dimensione di
è 1.Tutto qui. ;)
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