Soluzioni
  • Il nostro obiettivo è quello di individuare una base della somma di due spazi sottospazi vettoriali, entrambi definiti mediante sistemi di generatori.

    A tal scopo è sufficiente considerare l'insieme formato dai vettori che generano i due sottospazi S\ \mbox{e}\ T, che è un sistema di generatori per il sottospazio somma, ed estrarne una base; quella così ottenuta sarà una base per S+T.

    I sottospazi assegnati sono

    \\ S=\mbox{Span}((3,0,0,0), \ (0,2,0,0)) \\ \\ T=\mbox{Span}((0,0,-1,0), \ (0,7,1,0))

    Osserviamo che i vettori che generano S sono linearmente indipendenti e formano una base dell'insieme:

    \mathcal{B}_{S}=\{(3,0,0,0),\ (0,2,0,0)\}

    Anche i vettori che generano T sono linearmente indipendenti e costituiscono una sua base:

    \mathcal{B}_{T}=\{(0,0,-1,0), \ (0,7,1,0)\}

    Consideriamo l'insieme formato dall'unione tra le basi, ossia

    \mathcal{B}_{S}\cup\mathcal{B}_{T}=\{(3,0,0,0), \ (0,2,0,0), \ (0,0,-1,0),\ (0,7,1,0)\}

    che costituisce un sistema di generatori per S+T. Estrapoliamone una base procedendo con uno dei metodi introdotti nella lezione come estrarre una base da un sistema di generatori.

    Scegliamo il metodo di eliminazione gaussiana e disponiamo i vettori di \mathcal{B}_{S}\cup\mathcal{B}_{T} per colonne in una matrice

    A=\begin{pmatrix}3&0&0&0 \\ 0&2&0&7 \\ 0&0&-1&1 \\ 0&0&0&0\end{pmatrix}

    La matrice è già ridotta a scala; basta infatti osservare che il primo elemento non nullo di ogni riga è più a destra del primo elemento non nullo della riga precedente.

    I pivot della matrice A sono a_{11}=3, \ a_{22}=2, \ a_{33}=-1 e le colonne di A che contengono i pivot costituiscono una base dello spazio generato dal sistema di generatori, cioè sono una base del sottospazio somma. In definitiva

    \mathcal{B}_{S+T}=\{(3,0,0,0), \ (0,2,0,0), \ (0,0,-1,0)\}

    La cardinalità della base è 3, dunque la dimensione di S+T è proprio 3, e ciò conclude l'esercizio.

    Risposta di Galois
 
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