Dimensione e base della somma di sottospazi con sistemi di generatori

Il nostro obiettivo è quello di individuare una base della somma di due spazi sottospazi vettoriali, entrambi definiti mediante sistemi di generatori.

A tal scopo è sufficiente considerare l'insieme formato dai vettori che generano i due sottospazi , che è un sistema di generatori per il sottospazio somma, ed estrarne una base; quella così ottenuta sarà una base per .

I sottospazi assegnati sono

Osserviamo che i vettori che generano sono linearmente indipendenti e formano una base dell'insieme:

Anche i vettori che generano sono linearmente indipendenti e costituiscono una sua base:

Consideriamo l'insieme formato dall'unione tra le basi, ossia

che costituisce un sistema di generatori per . Estrapoliamone una base procedendo con uno dei metodi introdotti nella lezione come estrarre una base da un sistema di generatori.

Scegliamo il metodo di eliminazione gaussiana e disponiamo i vettori di  per colonne in una matrice

La matrice è già ridotta a scala; basta infatti osservare che il primo elemento non nullo di ogni riga è più a destra del primo elemento non nullo della riga precedente.

I pivot della matrice  sono e le colonne di  che contengono i pivot costituiscono una base dello spazio generato dal sistema di generatori, cioè sono una base del sottospazio somma. In definitiva

La cardinalità della base è 3, dunque la dimensione di  è proprio 3, e ciò conclude l'esercizio.