Soluzioni
  • Per introdurre la definizione di base ortogonale abbiamo bisogno di uno spazio vettoriale V di dimensione n definito sul campo \mathbb{R}, e di un prodotto scalare \langle \ , \ \rangle: V \times V \to \mathbb{R}.

    Una base \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} \mbox{ di } V è una base ortogonale se e solo se i vettori che la compongono sono a due a due ortogonali rispetto al prodotto scalare \langle \ , \ \rangle definito in V.

    In formule:

    \\ \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} \mbox{ base ortogonale di } V \iff \\ \\ \langle \mathbf{v}_i , \mathbf{v}_j \rangle = 0 \mbox{ per ogni } i\neq j, \mbox{ con } i,j \in \{1,2,...,n\}

    In definitiva, data una base di uno spazio vettoriale su cui è definito un prodotto scalare, per verificare se è una base ortogonale è sufficiente stabilire se è formata da vettori ortogonali a due a due.

    Esempi

    1) Per ogni numero naturale n>1, la base canonica di \mathbb{R}^n è una base ortogonale rispetto al prodotto scalare euclideo.

    Detti infatti

    \\ \mathbf{e}_1=(1,0,...,0,0) \\ \\ \mathbf{e}_2=(0,1,...,0,0) \\ \\ ........ \\ \\ \mathbf{e}_{n-1}=(0,0,...,1,0) \\ \\ \mathbf{e}_n=(0,0,...,0,1)

    i vettori della base canonica di \mathbb{R}^n, e indicato con \cdot il prodotto scalare canonico, è immediato verificare che

    \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j = 0 \mbox{ per ogni } i \neq j

    2) La base \mathcal{B} data da

    \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}, \mbox{ con} \\ \\ \mathbf{v}_1=(1,2,0) \\ \\ \mathbf{v}_2=(2,-1,3) \\ \\ \mathbf{v}_3=(-6,3,5)

    è una base ortogonale di \mathbb{R}^3 rispetto al prodotto scalare euclideo, infatti:

    - \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\} è un insieme formato da 3 vettori linearmente indipendenti di \mathbb{R}^3, e quindi ne costituisce una base;

    - i vettori sono a due a due ortogonali

    \\ \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2 = (1,2,0) \cdot (2,-1,3) = (1)(2)+(2)(-1)+(0)(3) = 2-2+0=0 \\ \\ \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_3 = (1,2,0) \cdot (-6,3,5) = (1)(-6)+(2)(3)+(0)(5) = -6+6+0=0 \\ \\ \mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{v}_3 = (2,-1,3) \cdot (-6,3,5) = (2)(-6)+(-1)(3)+(3)(5) = -12-3+15=0

    3) Consideriamo il seguente prodotto scalare definito su V=\mathbb{R}^2

    \\ \langle \ , \ \rangle: \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \mbox{ tale che }\\ \\ \langle (x_1, x_2) \ , \ (y_1,y_2) \rangle = 5x_1y_1+x_2y_1+x_1y_2+2x_2y_2

    \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1=(3,-2), \ \mathbf{v}_2=(1,13)\}

    è una base ortogonale di \mathbb{R}^2 rispetto a \langle \ , \ \rangle, infatti posto

    \\ \mathbf{v}_1=(x_1,x_2)=(3,-2) \\ \\ \mathbf{v}_2=(y_1,y_2)=(1,13)

    si ha che

    \\ \langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \rangle = \langle (3,-2) \ , \ (1,13) \rangle = \\ \\ = 5(3)(1)+(-2)(1)+(3)(13)+2(-2)(13) = 15-2+39-52=0

    ***

    In generale, data una qualsiasi base \mathcal{B} di uno spazio vettoriale V su cui è stato definito un prodotto scalare, è sempre possibile renderla ortogonale attraverso il processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Per una spiegazione dettagliata di questo metodo e per vedere degli esempi rimandiamo alla pagina del link.

    In ultimo, è bene sapere che la nozione di base ortogonale si usa per introdurre il concetto di base ortonormale - click!

    Risposta di Galois
 
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