Base ortogonale

Autore: Giuseppe Carichino (Galois) -
Ultimo aggiornamento: 26/10/2023

Cos'è una base ortogonale? Potreste farmi capire cos'è una base ortogonale di uno spazio vettoriale e mostrarmi qualche esempio? Mi sembra di aver capito che una base può essere sempre resa ortogonale: è vero? Se sì, come?

Soluzione

Per introdurre la definizione di base ortogonale abbiamo bisogno di uno spazio vettoriale di dimensione definito sul campo , e di un prodotto scalare .

Una base è una base ortogonale se e solo se i vettori che la compongono sono a due a due ortogonali rispetto al prodotto scalare definito in .

In formule:

B = v_1, v_2, ..., v_n base ortogonale di V ⇔ ; 〈 v_i , v_j 〉 = 0 per ogni i ≠ j, con i,j ∈ 1,2,...,n

In definitiva, data una base di uno spazio vettoriale su cui è definito un prodotto scalare, per verificare se è una base ortogonale è sufficiente stabilire se è formata da vettori ortogonali a due a due.

Esempi

1) Per ogni numero naturale , la base canonica di è una base ortogonale rispetto al prodotto scalare euclideo.

Detti infatti

e_1 = (1,0,...,0,0) ; e_2 = (0,1,...,0,0) ; ... ; e_(n−1) = (0,0,...,1,0) ; e_n = (0,0,...,0,1)

i vettori della base canonica di , e indicato con il prodotto scalare canonico, è immediato verificare che

2) La base data da

B = v_1, v_2, v_3, con ; v_1 = (1,2,0) ; v_2 = (2,−1,3) ; v_3 = (−6,3,5)

è una base ortogonale di rispetto al prodotto scalare euclideo, infatti:

- è un insieme formato da 3 vettori linearmente indipendenti di , e quindi ne costituisce una base;

- i vettori sono a due a due ortogonali

v_1·v_2 = (1,2,0)·(2,−1,3) = (1)(2)+(2)(−1)+(0)(3) = 2−2+0 = 0 ; v_1·v_3 = (1,2,0)·(−6,3,5) = (1)(−6)+(2)(3)+(0)(5) = −6+6+0 = 0 ; v_2·v_3 = (2,−1,3)·(−6,3,5) = (2)(−6)+(−1)(3)+(3)(5) = −12−3+15 = 0

3) Consideriamo il seguente prodotto scalare definito su

〈 , 〉: R^2×R^2 → R tale che ; 〈 (x_1, x_2) , (y_1,y_2) 〉 = 5x_1y_1+x_2y_1+x_1y_2+2x_2y_2

è una base ortogonale di rispetto a , infatti posto

v_1 = (x_1,x_2) = (3,−2) ; v_2 = (y_1,y_2) = (1,13)

si ha che

〈 v_1, v_2 〉 = 〈 (3,−2) , (1,13) 〉 = 5(3)(1)+(−2)(1)+(3)(13)+2(−2)(13) = 15−2+39−52 = 0

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In generale, data una qualsiasi base di uno spazio vettoriale su cui è stato definito un prodotto scalare, è sempre possibile renderla ortogonale attraverso il processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Per una spiegazione dettagliata di questo metodo e per vedere degli esempi rimandiamo alla pagina del link.

Da ultimo, è bene sapere che la nozione di base ortogonale si usa per introdurre il concetto di base ortonormale - click!