Teorema di Cayley Hamilton

Il teorema di Cayley-Hamilton, o teorema di Hamilton-Cayley, afferma che ogni matrice quadrata è radice del suo polinomio caratteristico.

In termini rigorosi, se è una matrice quadrata di ordine e

è il suo polinomio caratteristico, allora , ossia

dove indica la matrice quadrata nulla di ordine e è la matrice identità di ordine .

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Vi sono molte dimostrazioni di questo teorema e ognuna di esse si basa su diverse considerazioni e proprietà. Quella che abbiamo deciso di proporre si basa sulle proprietà del determinante e sulla regola di Laplace. Prima di riportarla è bene richiamare qualche concetto che tornerà utile nel corso nella dimostrazione.

Sia è una matrice quadrata di ordine

Diciamo complemento algebrico o cofattore dell'elemento e lo indichiamo con il minore complementare a esso relativo a cui anteponiamo il segno + se è pari e il segno - se è dispari. In simboli

dove è la sottomatrice che si estrae da eliminando la -esima riga e la -esima colonna.

Indichiamo poi con la trasposta della matrice dei cofattori associata ad , ossia

Infine, dallo sviluppo di Laplace per righe sappiamo che

dunque, vale l'uguaglianza

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Chiarito ciò possiamo procedere alla dimostrazione del teorema di Cayley-Hamilton. A una prima lettura potrebbe sembrare difficile e impossibile da ricordare, ma vi assicuriamo che in fin dei conti si tratta di svolgere dei puri e semplici calcoli algebrici.

Sia una matrice quadrata di ordine e sia

il polinomio caratteristico a essa associato. Dobbiamo dimostrare che

ossia che

Consideriamo la matrice

Per quanto osservato poc'anzi

Dunque vale la relazione

Gli elementi di sono i complementi algebrici della matrice , ossia sono polinomi nella variabile di grado al più .

In altri termini esistono matrici quadrate tali che

Di conseguenza

Sommando i termini simili si ottiene

In precedenza abbiamo dimostrato che

Uguagliando i coefficienti delle varie potenze di si ricade nelle seguenti uguaglianze

Moltiplichiamo la prima relazione per , la seconda per , ..., la penultima per e l'ultima per

Sommando membro a membro si ottiene

e la dimostrazione può dirsi conclusa.

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È tutto! Una delle conseguenze del teorema di Cayley-Hamilton è che il polinomio minimo di una matrice divide il relativo polinomio caratteristico, proprietà utile a determinare la forma canonica di Jordan di una matrice.