Soluzioni
  • Un sistema lineare omogeneo è un sistema lineare in cui i termini noti delle equazioni che lo definiscono sono tutti nulli. La forma generale in cui si presenta è la seguente

    \begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=0 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=0 \\ ...... \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=0\end{cases}

    I termini a_{ij} sono degli scalari (solitamente numeri reali) e prendono il nome di coefficienti del sistema, mentre x_1, \ x_2, \ ..., \ x_n sono le incognite.

    A ogni sistema lineare, e quindi anche ai sistemi lineari omogenei, si possono associare:

    - la matrice dei coefficienti, detta anche matrice incompleta

    A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}

    - il vettore colonna delle incognite

    \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}

    - il vettore colonna dei termini noti

    \mathbf{0}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix}

    Ricorrendo al prodotto riga per colonna si può poi scrivere quella che viene detta forma matriciale di un sistema lineare omogeneo:

    A\mathbf{x}=\mathbf{0}

    che si rivela molto utile per descrivere e dimostrare le varie proprietà.

    Esempi di sistemi lineari omogenei e non omogenei

    \begin{cases}2x+3y=0 \\ x-y=0 \end{cases} \ \ \ \begin{cases}x+y+z=0 \\ 2x-3y+4z=0 \\ 5x-7y=0 \end{cases} \ \ \ \begin{cases}x-5y+3z-2t=0 \\ x+8t=0 \\ 3y+8z-16t=0 \\ 4x-10y+t=0 \end{cases}

    sono sistemi lineari omogenei, mentre non lo sono

    \begin{cases}2x+3y=1 \\ x-y=0 \end{cases} \ \ \ \begin{cases}x+y+z=-2 \\ 2x-3y+4z=5 \\ 5x-7y=0 \end{cases} \ \ \ \begin{cases}x-5y+3z-2t=-1 \\ x+8t=0 \\ 3y+8z-16t=0 \\ 4x-10y+t=0 \end{cases}

    Proprietà di un sistema lineare omogeneo

    Le principali proprietà di un sistema lineare omogeneo ruotano attorno alle sue soluzioni, infatti:

    - ogni sistema lineare omogeneo è sempre compatibile, cioè ammette almeno una soluzione, data dalla n-upla (x_1,x_2,...x_n)=(0,0,...,0) e detta soluzione banale.

    - L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo con n incognite e a coefficienti in un campo \mathbb{K} è un sottospazio vettoriale di \mathbb{K}^n.

    Nei corsi di Algebra Lineare, le suddette proprietà vengono presentate come dei veri e propri teoremi, ragion per cui è utile vederne la dimostrazione.

    1) Cominciamo col dimostrare il teorema secondo cui un sistema lineare omogeneo è sempre compatibile. Eccone l'enunciato completo:

    un sistema lineare omogeneo ammette sempre soluzione; in particolare, se il rango della matrice dei coefficienti è massimo, allora il sistema ammette un'unica soluzione, che è quella banale.

    Dimostrazione

    Sia A\mathbf{x}=\mathbf{0} un sistema lineare omogeneo.

    La matrice incompleta A e la matrice completa (A|\mathbf{0}) associate al sistema hanno lo stesso rango. Per convincersene è sufficiente osservare che (A|\mathbf{0}) si ottiene da A aggiungendo una colonna di zeri. Essendo quindi

    \mbox{rk}(A)=\mbox{rk}(A|\mathbf{0})

    per il teorema di Rouché Capelli il sistema è compatibile e la soluzione è unica se e solo se il rango di A è uguale al numero delle incognite del sistema, cioè se e solo se il rango di A è massimo.

    Infine, dal momento che il prodotto riga per colonna A\mathbf{0} restituisce un vettore colonna formato da soli zero, risulta evidente che la n-upla (0,0,...,0) è sempre soluzione del sistema.

    \square

    2) Dimostriamo ora che l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} con n incognite e a coefficienti in un campo \mathbb{K} è un sottospazio vettoriale di \mathbb{K}^n.

    Dal teorema precedente sappiamo che ogni sistema lineare omogeneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} ammette soluzione.

    Se tale soluzione è unica coincide necessariamente con quella banale, ossia l'insieme delle soluzioni S del sistema è

    S=\{\mathbf{0}\}

    Tale insieme è un sottospazio di \mathbb{K}^n, infatti coincide col sottospazio banale formato dal solo vettore nullo, e quindi abbiamo la tesi.

    Supponiamo ora che il sistema ammetta più di una soluzione e sia S l'insieme delle soluzioni. Per dimostrare che un insieme è un sottospazio vettoriale dobbiamo provare che

    (a) per ogni \mathbf{s}_1, \mathbf{s}_2 \in \mathbb{S}: \ \mathbf{s}_1+\mathbf{s}_2 \in S

    (b) per ogni \mathbf{s}_1 \in S e per ogni \lambda \in \mathbb{K}: \ \lambda \mathbf{s}_1 \in S

    Siano allora \mathbf{s}_1 \mbox{ e } \mathbf{s}_2 due elementi di S e sia \lambda \in \mathbb{K} uno scalare.

    Essendo \mathbf{s}_1 \mbox{ e } \mathbf{s}_2 due soluzioni del sistema si ha che

    A\mathbf{s}_1=\mathbf{0} \mbox{ e } A\mathbf{s}_2=\mathbf{0}

    Sommando membro a membro si ottiene

    A\mathbf{s}_1+A\mathbf{s}_2=\mathbf{0}

    ossia

    A(\mathbf{s}_1+\mathbf{s}_2)=\mathbf{0}

    Dunque anche \mathbf{s}_1+\mathbf{s}_2 è soluzione e quindi \mathbf{s}_1+\mathbf{s}_2 \in S

    Inoltre, moltiplicando ambo i membri di

    A\mathbf{s}_1=\mathbf{0}

    per lo scalare \lambda si ricava che

    \lambda A\mathbf{s}_1= \lambda \mathbf{0}

    da cui segue che

    A(\lambda \mathbf{s}_1)=\mathbf{0}

    Pertanto anche \lambda \mathbf{s}_1 \in S e la dimostrazione può dirsi conclusa.

    \square

    Per sapere come si determina una base e la dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo vi rimandiamo alla pagina del link.

    Osservazione: l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo non è un sottospazio vettoriale in quanto non contiene il vettore nullo; tale insieme è, invece, un sottospazio affine.

    ***

    È tutto, ma per chiudere in bellezza vi lasciamo qualche link di approfondimento:

    - metodi di risoluzione dei sistemi lineari;

    - sistemi lineari parametrici.

    Infine, usando la barra di ricerca interna potete trovare decine e decine di sistemi lineari omogenei accuratamente risolti. ;)

    Risposta di Galois
 
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