Sistema lineare omogeneo

Un sistema lineare omogeneo è un sistema lineare in cui i termini noti delle equazioni che lo definiscono sono tutti nulli. La forma generale in cui si presenta è la seguente

I termini sono degli scalari (solitamente numeri reali) e prendono il nome di coefficienti del sistema, mentre sono le incognite.

A ogni sistema lineare, e quindi anche ai sistemi lineari omogenei, si possono associare:

- la matrice dei coefficienti, detta anche matrice incompleta

- il vettore colonna delle incognite

- il vettore colonna dei termini noti

Ricorrendo al prodotto riga per colonna si può poi scrivere quella che viene detta forma matriciale di un sistema lineare omogeneo:

che si rivela molto utile per descrivere e dimostrare le varie proprietà.

Esempi di sistemi lineari omogenei e non omogenei

sono sistemi lineari omogenei, mentre non lo sono

Proprietà di un sistema lineare omogeneo

Le principali proprietà di un sistema lineare omogeneo ruotano attorno alle sue soluzioni, infatti:

- ogni sistema lineare omogeneo è sempre compatibile, cioè ammette almeno una soluzione, data dalla n-upla e detta soluzione banale.

- L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo con incognite e a coefficienti in un campo è un sottospazio vettoriale di .

Nei corsi di Algebra Lineare, le suddette proprietà vengono presentate come dei veri e propri teoremi, ragion per cui è utile vederne la dimostrazione.

1) Cominciamo col dimostrare il teorema secondo cui un sistema lineare omogeneo è sempre compatibile. Eccone l'enunciato completo:

un sistema lineare omogeneo ammette sempre soluzione; in particolare, se il rango della matrice dei coefficienti è massimo, allora il sistema ammette un'unica soluzione, che è quella banale.

Dimostrazione

Sia un sistema lineare omogeneo.

La matrice incompleta e la matrice completa associate al sistema hanno lo stesso rango. Per convincersene è sufficiente osservare che si ottiene da aggiungendo una colonna di zeri. Essendo quindi

per il teorema di Rouché Capelli il sistema è compatibile e la soluzione è unica se e solo se il rango di è uguale al numero delle incognite del sistema, cioè se e solo se il rango di è massimo.

Infine, dal momento che il prodotto riga per colonna restituisce un vettore colonna formato da soli zero, risulta evidente che la n-upla è sempre soluzione del sistema.

2) Dimostriamo ora che l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo con incognite e a coefficienti in un campo è un sottospazio vettoriale di .

Dal teorema precedente sappiamo che ogni sistema lineare omogeneo ammette soluzione.

Se tale soluzione è unica coincide necessariamente con quella banale, ossia l'insieme delle soluzioni del sistema è

Tale insieme è un sottospazio di , infatti coincide col sottospazio banale formato dal solo vettore nullo, e quindi abbiamo la tesi.

Supponiamo ora che il sistema ammetta più di una soluzione e sia l'insieme delle soluzioni. Per dimostrare che un insieme è un sottospazio vettoriale dobbiamo provare che

(a) per ogni

(b) per ogni e per ogni

Siano allora due elementi di e sia uno scalare.

Essendo due soluzioni del sistema si ha che

Sommando membro a membro si ottiene

ossia

Dunque anche è soluzione e quindi

Inoltre, moltiplicando ambo i membri di

per lo scalare si ricava che

da cui segue che

Pertanto anche e la dimostrazione può dirsi conclusa.

Per sapere come si determina una base e la dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo vi rimandiamo alla pagina del link.

Osservazione: l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo non è un sottospazio vettoriale in quanto non contiene il vettore nullo; tale insieme è, invece, un sottospazio affine.

***

È tutto, ma per chiudere in bellezza vi lasciamo qualche link di approfondimento:

- metodi di risoluzione dei sistemi lineari;

- sistemi lineari parametrici.

Infine, usando la barra di ricerca interna potete trovare decine e decine di sistemi lineari omogenei accuratamente risolti. ;)