Integrale fratto con polinomio di secondo grado

Buongiorno non riesco a calcolare un integrale fratto con integranda che è la frazione con denominatore un polinomio di secondo grado. Me lo spiegate per favore?

∫ 1 / (x^2+4x+4) dx.

Domanda di furby17
Soluzioni

Eccomi! ciao furby17, in questo post risponderò alla prima domanda, per regolamento infatti puoi richiedere la risoluzione di un esercizio per volta (è anche più ordinato in questo modo, non credi?);)

Risposta di Ifrit

Vogliamo calcolare l'integrale

∫ (1)/(x^2+4x+4) dx = ∫ (1)/((x+2)^2) dx = ∫(x+2)^(-2)

dove l'uguglianza è giustificata dal fatto che x^2+4x+4 è un quadrato di binomio, (clicca) .

Osservando che la funzione integranda si presenta nella forma nota f'(x)f(x)^α α ne-1 e utilizzare l'integrale notevole:

∫ f'(x)f(x)^α dx = (1)/(α+1) f(x)^(α+1)+C α ne-1 , , C∈ R

Nel nostro caso: f(x) = x+2, pertanto f'(x) = 1, mentre α = -2

Utilizzando una nota formula di integrazione

∫ (1)/(x^2+4x+4)dx = (1)/(-2+1) (x+2)^(-2+1)+C = -(x+2)^(-1)+C = -(1)/((x+2))+C

Hai domande sul procedimento?

Risposta di Ifrit

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