Integrale fratto con polinomio di secondo grado

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Buongiorno non riesco a calcolare un integrale fratto con integranda che è la frazione con denominatore un polinomio di secondo grado. Me lo spiegate per favore?

 

∫ 1 / (x^2+4x+4) dx.

Domanda di furby17

 
Soluzioni

  • Eccomi! ciao furby17, in questo post risponderò alla prima domanda, per regolamento infatti puoi richiedere la risoluzione di un esercizio per volta (è anche più ordinato in questo modo, non credi?);)

    Risposta di Ifrit

  • Vogliamo calcolare l'integrale

    \int \frac{1}{x^2+4x+4} dx= \int \frac{1}{(x+2)^2} dx=\int(x+2)^{-2}

    dove l'uguglianza è giustificata dal fatto che x^2+4x+4 è un quadrato di binomio, (clicca) .

    Osservando che la funzione integranda si presenta nella forma nota f'(x)f(x)^\alpha\quad \alpha\ne -1 e utilizzare l'integrale notevole:

    \int f'(x)f(x)^\alpha dx = \frac{1}{\alpha+1} f(x)^{\alpha+1}+C\quad\alpha\ne-1\,\, C\in \mathbb{R}

    Nel nostro caso: f(x)=x+2, pertanto f'(x)=1, mentre \alpha= -2

    Utilizzando una nota formula di integrazione

    \int \frac{1}{x^2+4x+4}dx = \frac{1}{-2+1} (x+2)^{-2+1}+C= -(x+2)^{-1}+C= -\frac{1}{ (x+2)}+C

    Hai domande sul procedimento?

     

    Risposta di Ifrit
 
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