Integrale fratto con polinomio di secondo grado

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Buongiorno non riesco a calcolare un integrale fratto con integranda che è la frazione con denominatore un polinomio di secondo grado. Me lo spiegate per favore?

 

∫ 1 / (x^2+4x+4) dx.

Domanda di furby17

 
Soluzioni

  • Eccomi! ciao furby17, in questo post risponderò alla prima domanda, per regolamento infatti puoi richiedere la risoluzione di un esercizio per volta (è anche più ordinato in questo modo, non credi?);)

    Risposta di Ifrit

  • Vogliamo calcolare l'integrale

    ∫ (1)/(x^2+4x+4) dx = ∫ (1)/((x+2)^2) dx = ∫(x+2)^(-2)

    dove l'uguglianza è giustificata dal fatto che x^2+4x+4 è un quadrato di binomio, (clicca) .

    Osservando che la funzione integranda si presenta nella forma nota f'(x)f(x)^α α ne-1 e utilizzare l'integrale notevole:

    ∫ f'(x)f(x)^α dx = (1)/(α+1) f(x)^(α+1)+C α ne-1 , , C∈ R

    Nel nostro caso: f(x) = x+2, pertanto f'(x) = 1, mentre α = -2

    Utilizzando una nota formula di integrazione

    ∫ (1)/(x^2+4x+4)dx = (1)/(-2+1) (x+2)^(-2+1)+C = -(x+2)^(-1)+C = -(1)/((x+2))+C

    Hai domande sul procedimento?

     

    Risposta di Ifrit
 
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