Spazio di polinomi

Autore: Giuseppe Carichino (Galois) -
Ultimo aggiornamento:

Vorrei sapere cosa si intende per spazio di polinomi, qual è la sua base canonica e come si calcola la dimensione. Oltre a questo vorrei capire come si lavora nello spazio vettoriale dei polinomi. Ad esempio, come si studia l'indipendenza lineare tra polinomi? Potreste aiutarmi a chiarire questi dubbi mostrandomi qualche esempio?

Soluzione

Per definire uno spazio di polinomi fissiamo un numero naturale n > 0 e consideriamo l'insieme di tutti i polinomi a coefficienti in campo reale, in una variabile (ad esempio x) e di grado al più n.

Se dotiamo tale insieme delle usuali operazioni di somma tra polinomi

 p(x)+q(x) = (a_0+a_1x+...+a_(n−1)x^(n−1)+a_nx^n)+(b_0+b_1x+...+b_(n−1)x^(n−1)+b_nx^n) = a_0+b_0+(a_1+b_1)x+...+(a_(n−1)+b_(n−1))x^(n−1)+(a_n+b_n)x^n

e di prodotto di un polinomio per uno scalare

 α·p(x) = α·(a_0+a_1x+...+a_(n−1)x^(n−1)+a_nx^n) = α a_0+(α a_1)x+...+(α a_(n−1))x^(n−1)+(α a_n)x^n

si ottiene uno spazio vettoriale sul campo K, detto spazio vettoriale dei polinomi e solitamente indicato con K_n[x].

Dunque, per ogni numero naturale n > 1 possiamo definire lo spazio dei polinomi

R_n[x]: = a_0+a_1x+...+a_(n−1)x^(n−1)+a_nx^n | a_i ∈ R per ogni i ∈ 1,2,...,n

i cui elementi sono, appunto, tutti i polinomi a coefficienti reali, in una variabile e di grado al più n.

Esempi

1) R_2[x] è lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali e di grado al più 2. Alcuni suoi elementi sono

p(x) = 1+x^2, q(x) = 2+3x−5x^2, r(x) = 7+[3]√(8)x^2

2) R_3[t] è lo spazio di polinomi a coefficienti in R i cui elementi sono polinomi di grado al più 3 nella variabile t.

p(t) = 1+(1)/(2)t+3t^2+t^3, q(t) = 3t−(5)/(4)t^2−12t^3, r(t) = 2−(3)/(2)t^2

sono alcuni dei suoi elementi.

***

I concetti di indipendenza lineare, sistema di generatori e base di uno spazio vettoriale sono sempre gli stessi a cui siamo abituati; semplicemente, nel contesto dello spazio dei polinomi, con il termine vettore ci si riferisce a un polinomio, inteso come elemento dello spazio vettoriale R_n[x].

A titolo di esempio supponiamo di voler studiare l'indipendenza lineare dei seguenti polinomi di R_3[x]

p(x) = 1+2x+x^2, q(x) = x+x^2+x^3, r(x) = 5−x

A tal scopo è sufficiente attenersi alla definizione di vettori linearmente indipendenti e quindi verificare se l'unica terna di scalari (α, β, γ) che annulla la combinazione lineare

α·p(x)+β·q(x)+γ·r(x)

è (α, β, γ) = (0,0,0). In caso affermativo i polinomi sono linearmente indipendenti.

Imponiamo allora che sia

α·p(x)+β·q(x)+γ·r(x) = 0

e svolgiamo i conti

 α·p(x)+β·q(x)+γ·r(x) = 0 ; ⇔ α (1+2x+x^2)+β (x+x^2+x^3)+γ (5−x) = 0 ; ⇔ α+2α x+α x^2+β x+β x^2+β x^3+5γ−γ x = 0 ; ⇔ (α+5γ)+(2α+β−γ)x+(α+β)x^2+β x^3 = 0

Per il principio di identità dei polinomi la precedente uguaglianza si traduce nel seguente sistema lineare omogeneo di quattro equazioni nelle incognite α, β, γ.

α+5γ = 0 ; 2α+β−γ = 0 ; α+β = 0 ; β = 0

Dalla teoria sui sistemi lineari sappiamo che un sistema lineare omogeneo è sempre compatibile e che ammette un'unica soluzione (che è quella banale) se e solo se la matrice dei coefficienti a esso associata ha rango massimo.

[1 0 5 ; 2 1 −1 ; 1 1 0 ; 0 1 0 ]

è la matrice dei coefficienti relativa al sistema, e il suo rango è pari a 3. Dunque l'unica soluzione del sistema è

(α, β, γ) = (0,0,0)

Possiamo così concludere che i polinomi p(x), q(x) e r(x) sono linearmente indipendenti.

Dimensione e base canonica dello spazio dei polinomi

Prende il nome di base canonica dello spazio dei polinomi R_n[x] l'insieme ordinato formato dai seguenti n+1 polinomi:

1, x, x^2, ..., x^n

Per intenderci, se siamo nello spazio vettoriale R_4[x] i polinomi della base canonica sono

1, x, x^2, x^3, x^4

mentre i polinomi della base canonica di R_5[x] sono

1, x, x^2, x^3, x^4, x^5.

La dimensione di uno spazio vettoriale è, per definizione, la cardinalità degli elementi di una sua qualsiasi base, dunque possiamo affermare che la dimensione dello spazio R_n[x] è n+1.

***

Dopo aver introdotto la base canonica, a ogni polinomio p(x) ∈ R_n[x] possiamo associare il vettore delle coordinate rispetto a tale base, che è un vettore di R^(n+1).

Ad esempio, se

p(x) = 5+3x−8x^2 ∈ R_2[x]

le sue coordinate rispetto alla base canonica sono le componenti del vettore

v = (5,3,−8)∈ R^(2+1) = R^3

Se conoscete le applicazioni lineari, un'associazione di questo tipo equivale a considerare l'applicazione

 f : R_n[x] → R^(n+1) ; p(x) = a_nx^n+a_(n−1)x^(n−1)+...+a_1x+a_0 ↦ v = (a_0, a_1, ..., a_(n−1), a_n)

che è un isomorfismo, conosciuto col nome di isomorfismo coordinato.

Associando a ogni polinomio il vettore delle coordinate, ossia servendosi dell'isomorfismo coordinato, è possibile passare dallo spazio dei polinomi R_n[x] allo spazio R^(n+1), dov'è molto più semplice lavorare e quindi risolvere i vari esercizi. A tal proposito, con la barra di ricerca interna ne potete trovare a centinaia, accuratamente svolti in ogni loro punto.

***

Procedendo in modo simile si definisce lo spazio delle matrici - click!

Domande della categoria Wiki - Algebra Lineare
Esercizi simili e domande correlate