Soluzioni
  • Per definire uno spazio di polinomi fissiamo un numero naturale n>0 e consideriamo l'insieme di tutti i polinomi a coefficienti in campo reale, in una variabile (ad esempio x) e di grado al più n.

    Se dotiamo tale insieme delle usuali operazioni di somma tra polinomi

    \\ p(x)+q(x) = \\ \\ = (a_0+a_1x+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n) + (b_0+b_1x+...+b_{n-1}x^{n-1}+b_nx^n) = \\ \\ = a_0+b_0+(a_1+b_1)x+...+(a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1}+(a_n+b_n)x^n

    e di prodotto di un polinomio per uno scalare

    \\ \alpha \cdot p(x) = \alpha \cdot (a_0+a_1x+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n)= \\ \\ = \alpha a_0 + (\alpha a_1)x+...+(\alpha a_{n-1})x^{n-1}+(\alpha a_n)x^n

    si ottiene uno spazio vettoriale sul campo \mathbb{K}, detto spazio vettoriale dei polinomi e solitamente indicato con \mathbb{K}_n[x].

    Dunque, per ogni numero naturale n>1 possiamo definire lo spazio dei polinomi

    \mathbb{R}_n[x]:=\{a_0+a_1x+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n \ | \ a_i \in \mathbb{R} \mbox{ per ogni } i \in \{1,2,...,n\}\}

    i cui elementi sono, appunto, tutti i polinomi a coefficienti reali, in una variabile e di grado al più n.

    Esempi

    1) \mathbb{R}_2[x] è lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali e di grado al più 2. Alcuni suoi elementi sono

    p(x)=1+x^2, \ \ \ q(x)=2+3x-5x^2, \ \ \ r(x)=7+\sqrt[3]{8}x^2

    2) \mathbb{R}_3[t] è lo spazio di polinomi a coefficienti in \mathbb{R} i cui elementi sono polinomi di grado al più 3 nella variabile t.

    p(t)=1+\frac{1}{2}t+3t^2+t^3, \ \ \ q(t)=3t-\frac{5}{4}t^2-12t^3, \ \ \ r(t)=2-\frac{3}{2}t^2

    sono alcuni dei suoi elementi.

    ***

    I concetti di indipendenza lineare, sistema di generatori e base di uno spazio vettoriale sono sempre gli stessi a cui siamo abituati; semplicemente, nel contesto dello spazio dei polinomi, con il termine vettore ci si riferisce a un polinomio, inteso come elemento dello spazio vettoriale \mathbb{R}_n[x].

    A titolo di esempio supponiamo di voler studiare l'indipendenza lineare dei seguenti polinomi di \mathbb{R}_3[x]

    p(x)=1+2x+x^2, \ \ \ q(x)=x+x^2+x^3, \ \ \ r(x)=5-x

    A tal scopo è sufficiente attenersi alla definizione di vettori linearmente indipendenti e quindi verificare se l'unica terna di scalari (\alpha, \beta, \gamma) che annulla la combinazione lineare

    \alpha \cdot p(x) + \beta \cdot q(x) + \gamma \cdot r(x)

    è (\alpha, \beta, \gamma) = (0,0,0). In caso affermativo i polinomi sono linearmente indipendenti.

    Imponiamo allora che sia

    \alpha \cdot p(x) + \beta \cdot q(x) + \gamma \cdot r(x)=0

    e svolgiamo i conti

    \\ \alpha \cdot p(x) + \beta \cdot q(x) + \gamma \cdot r(x)=0\\ \\ \iff \alpha (1+2x+x^2) + \beta (x+x^2+x^3) + \gamma (5-x)=0 \\ \\ \iff \alpha+2\alpha x+\alpha x^2+\beta x+ \beta x^2+ \beta x^3 + 5\gamma-\gamma x = 0 \\ \\ \iff (\alpha+5\gamma) + (2\alpha+\beta-\gamma)x + (\alpha + \beta)x^2 + \beta x^3=0

    Per il principio di identità dei polinomi la precedente uguaglianza si traduce nel seguente sistema lineare omogeneo di quattro equazioni nelle incognite \alpha, \ \beta, \ \gamma.

    \begin{cases} \alpha+5\gamma=0 \\ 2\alpha+\beta-\gamma=0 \\ \alpha+\beta=0 \\ \beta=0 \end{cases}

    Dalla teoria sui sistemi lineari sappiamo che un sistema lineare omogeneo è sempre compatibile e che ammette un'unica soluzione (che è quella banale) se e solo se la matrice dei coefficienti a esso associata ha rango massimo.

    \begin{pmatrix}1&0&5 \\ 2&1&-1 \\ 1&1&0 \\ 0&1&0 \end{pmatrix}

    è la matrice dei coefficienti relativa al sistema, e il suo rango è pari a 3. Dunque l'unica soluzione del sistema è

    (\alpha, \beta, \gamma)=(0,0,0)

    Possiamo così concludere che i polinomi p(x), \ q(x) \mbox{ e } r(x) sono linearmente indipendenti.

    Dimensione e base canonica dello spazio dei polinomi

    Prende il nome di base canonica dello spazio dei polinomi \mathbb{R}_n[x] l'insieme ordinato formato dai seguenti n+1 polinomi:

    1, \ x, \ x^2, \ ..., \ x^n

    Per intenderci, se siamo nello spazio vettoriale \mathbb{R}_4[x] i polinomi della base canonica sono

    1, \ x, \ x^2, \ x^3, \ x^4

    mentre i polinomi della base canonica di \mathbb{R}_5[x] sono

    1, \ x, \ x^2, \ x^3, \ x^4, \ x^5.

    La dimensione di uno spazio vettoriale è, per definizione, la cardinalità degli elementi di una sua qualsiasi base, dunque possiamo affermare che la dimensione dello spazio \mathbb{R}_n[x] è n+1.

    ***

    Dopo aver introdotto la base canonica, a ogni polinomio p(x) \in \mathbb{R}_n[x] possiamo associare il vettore delle coordinate rispetto a tale base, che è un vettore di \mathbb{R}^{n+1}.

    Ad esempio, se

    p(x)=5+3x-8x^2 \in \mathbb{R}_2[x]

    le sue coordinate rispetto alla base canonica sono le componenti del vettore

    \mathbf{v}=(5,3,-8)\in \mathbb{R}^{2 +1 }=\mathbb{R}^3

    Se conoscete le applicazioni lineari, un'associazione di questo tipo equivale a considerare l'applicazione

    \\ f : \mathbb{R}_n[x] \to \mathbb{R}^{n+1} \\ \\ \\ p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 \mapsto \mathbf{v}=(a_0, a_1, ..., a_{n-1}, a_n)

    che è un isomorfismo, conosciuto col nome di isomorfismo coordinato.

    Associando a ogni polinomio il vettore delle coordinate, ossia servendosi dell'isomorfismo coordinato, è possibile passare dallo spazio dei polinomi \mathbb{R}_n[x] allo spazio \mathbb{R}^{n+1}, dov'è molto più semplice lavorare e quindi risolvere i vari esercizi. A tal proposito, con la barra di ricerca interna ne potete trovare a centinaia, accuratamente svolti in ogni loro punto.

    ***

    Procedendo in modo simile si definisce lo spazio delle matrici - click!

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Wiki - Algebra Lineare