Matrice a blocchi
Com'è fatta una matrice a blocchi? Potreste spiegarmi cosa si intende per matrice a blocchi, fornire la definizione e mostrarmi qualche esempio? Come sono definite le matrici a blocchi triangolari e diagonali, e come si calcola il loro determinante?
Si dice matrice a blocchi una qualsiasi matrice i cui elementi sono raggruppati in sottomatrici quadrate o rettangolari, dette blocchi. Per intenderci, una matrice a blocchi non è un particolare tipo di matrice, ma è solo un modo di riscrivere una data matrice con lo scopo di descriverla meglio.
Ad esempio
![A = [2 1 5 1 0 0 ; 0 5 6 0 1 0 ; 0 0 3 0 0 1 ; 0 0 0 7 0 0 ; 0 0 0 4 5 0 ; 0 0 0 8 2 1]](/images/joomlatex/8/f/8f59347ebac8b06b0e07afce6f2be3da.gif)
può essere partizionata a blocchi come segue
dove 
è una matrice triangolare superiore, 
è la matrice identità di ordine 3, 
è la matrice nulla di ordine 3 e 
è una matrice triangolare inferiore.
Altri esempi di matrici a blocchi sono
Matrice a blocchi triangolare e matrice a blocchi diagonale
Tra le matrici a blocchi giocano un ruolo da protagonista le matrici a blocchi triangolari (superiori e inferiori) e le matrici a blocchi diagonali. Qui di seguito abbiamo riportato le varie definizioni e un esempio per ciascun tipo.
- Una matrice a blocchi triangolare superiore è una matrice quadrata in cui i blocchi posti sulla diagonale principale sono sottomatrici quadrate, e i blocchi sotto la diagonale principale sono sottomatrici nulle. Si presenta cioè nella forma
dove al posto di * c'è una qualsiasi sottomatrice (quadrata o rettangolare) e al posto di 
c'è una sottomatrice formata da soli zero. Ne è un esempio
- Una matrice a blocchi triangolare inferiore è una matrice quadrata con blocchi quadrati sulla diagonale principale e in cui i blocchi sopra la diagonale sono sottomatrici nulle; la forma in cui si presenta è la seguente
Ecco un esempio
- Una matrice a blocchi diagonale è una matrice quadrata in cui i blocchi posti al di fuori della diagonale principale sono tutti nulli. La sua forma generale è
e ne è un esempio
Determinante di una matrice a blocchi triangolare e diagonale
Il determinante di una matrice a blocchi di forma triangolare (superiore o inferiore) o di forma diagonale è dato dal prodotto dei determinanti delle sottomatrici quadrate poste sulla diagonale principale.
Dunque, indicando con 
una matrice a blocchi triangolare o diagonale e con 
le sottomatrici quadrate poste sulla diagonale principale, si ha che:
Esempio
Per calcolare il determinante della seguente matrice a blocchi
è sufficiente calcolare i determinanti delle sottomatrici quadrate sulla diagonale principale
![det(A_1) = det[1] = 1 ; det(A_2) = det[-2 4 ; 0 6 ] = -12 ; det(A_3) = det[ 1 0 0 ;-1 5 9 ; 6 2 4] = 2](/images/joomlatex/d/d/dd3d87eec8588897884b18ac3d4e61b5.gif)
per poi moltiplicarli tra loro
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Le matrici a blocchi trovano largo impiego nella teoria e negli esercizi sulle matrici triangolabili e sulla forma canonica di Jordan.