Matrice a blocchi

Si dice matrice a blocchi una qualsiasi matrice i cui elementi sono raggruppati in sottomatrici quadrate o rettangolari, dette blocchi. Per intenderci, una matrice a blocchi non è un particolare tipo di matrice, ma è solo un modo di riscrivere una data matrice con lo scopo di descriverla meglio.

Ad esempio

può essere partizionata a blocchi come segue

dove è una matrice triangolare superiore, è la matrice identità di ordine 3, è la matrice nulla di ordine 3 e è una matrice triangolare inferiore.

Altri esempi di matrici a blocchi sono

Matrice a blocchi triangolare e matrice a blocchi diagonale

Tra le matrici a blocchi giocano un ruolo da protagonista le matrici a blocchi triangolari (superiori e inferiori) e le matrici a blocchi diagonali. Qui di seguito abbiamo riportato le varie definizioni e un esempio per ciascun tipo.

- Una matrice a blocchi triangolare superiore è una matrice quadrata in cui i blocchi posti sulla diagonale principale sono sottomatrici quadrate, e i blocchi sotto la diagonale principale sono sottomatrici nulle. Si presenta cioè nella forma

dove al posto di * c'è una qualsiasi sottomatrice (quadrata o rettangolare) e al posto di c'è una sottomatrice formata da soli zero. Ne è un esempio

- Una matrice a blocchi triangolare inferiore è una matrice quadrata con blocchi quadrati sulla diagonale principale e in cui i blocchi sopra la diagonale sono sottomatrici nulle; la forma in cui si presenta è la seguente

Ecco un esempio

- Una matrice a blocchi diagonale è una matrice quadrata in cui i blocchi posti al di fuori della diagonale principale sono tutti nulli. La sua forma generale è

e ne è un esempio

Determinante di una matrice a blocchi triangolare e diagonale

Il determinante di una matrice a blocchi di forma triangolare (superiore o inferiore) o di forma diagonale è dato dal prodotto dei determinanti delle sottomatrici quadrate poste sulla diagonale principale.

Dunque, indicando con una matrice a blocchi triangolare o diagonale e con le sottomatrici quadrate poste sulla diagonale principale, si ha che:

Esempio

Per calcolare il determinante della seguente matrice a blocchi

è sufficiente calcolare i determinanti delle sottomatrici quadrate sulla diagonale principale

per poi moltiplicarli tra loro

***

Le matrici a blocchi trovano largo impiego nella teoria e negli esercizi sulle matrici triangolabili e sulla forma canonica di Jordan.