Soluzioni
  • Si dice matrice a blocchi una qualsiasi matrice i cui elementi sono raggruppati in sottomatrici quadrate o rettangolari, dette blocchi. Per intenderci, una matrice a blocchi non è un particolare tipo di matrice, ma è solo un modo di riscrivere una data matrice con lo scopo di descriverla meglio.

    Ad esempio

    A = [2 1 5 1 0 0 ; 0 5 6 0 1 0 ; 0 0 3 0 0 1 ; 0 0 0 7 0 0 ; 0 0 0 4 5 0 ; 0 0 0 8 2 1]

    può essere partizionata a blocchi come segue

    A = (beginarrayc|c 2 1 5 ; 0 5 6 ; 0 0 3 1 0 0 ; 0 1 0 ; 0 0 1 ; cline1-2 0 0 0 ; 0 0 0 ; 0 0 0 7 0 0 ; 4 5 0 ; 8 2 1 endarray) = (beginarraycc|cc ; T_s Id_3 ; ; cline1-4 ; O_3 T_i ; endarray)

    dove T_s è una matrice triangolare superiore, Id_3 è la matrice identità di ordine 3, O_3 è la matrice nulla di ordine 3 e T_i è una matrice triangolare inferiore.

    Altri esempi di matrici a blocchi sono

     B = (beginarrayc|c 2 0 ; 0 2 0 0 0 ; 0 0 0 ; cline1-2 1 0 ; 0 1 1 4 2 ; 7 3 1 endarray) ; C = (beginarrayc|c 5 0 0 ; cline1-2 0 ; 0 1 2 ; 0 3 endarray) ; D = (beginarrayc|c|c 1 1 ; 1 1 0 0 ; 0 0 2 0 ; 0 2 ; cline1-3 0 0 1 1 4 7 endarray)

    Matrice a blocchi triangolare e matrice a blocchi diagonale

    Tra le matrici a blocchi giocano un ruolo da protagonista le matrici a blocchi triangolari (superiori e inferiori) e le matrici a blocchi diagonali. Qui di seguito abbiamo riportato le varie definizioni e un esempio per ciascun tipo.

    - Una matrice a blocchi triangolare superiore è una matrice quadrata in cui i blocchi posti sulla diagonale principale sono sottomatrici quadrate, e i blocchi sotto la diagonale principale sono sottomatrici nulle. Si presenta cioè nella forma

    (beginarrayc|c|c|c|cA_1 * * ··· * ; cline1-5O A_2 * ··· * ; cline1-5O O A_3 ··· * ; cline1-5⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ; cline1-5O O O O A_n endarray)

    dove al posto di * c'è una qualsiasi sottomatrice (quadrata o rettangolare) e al posto di O c'è una sottomatrice formata da soli zero. Ne è un esempio

    (beginarrayc|c 2 1 ; 0 3 4 ; 7 ; cline1-2 0 0 8 endarray) = (beginarrayc|cA_1 * ; cline1-2O A_2 endarray)

    - Una matrice a blocchi triangolare inferiore è una matrice quadrata con blocchi quadrati sulla diagonale principale e in cui i blocchi sopra la diagonale sono sottomatrici nulle; la forma in cui si presenta è la seguente

    (beginarrayc|c|c|c|cA_1 O O ··· O ; cline1-5* A_2 O ··· O ; cline1-5* * A_3 ··· O ; cline1-5⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ; cline1-5* * * ··· A_n endarray)

    Ecco un esempio

    (beginarrayc|c 2 1 ; 4 3 0 0 ; 0 0 ; cline1-2 1 1 ; 4 0 2 3 ; 5 6 endarray) = (beginarrayc|cA_1 O ; cline1-2* A_2 endarray)

    - Una matrice a blocchi diagonale è una matrice quadrata in cui i blocchi posti al di fuori della diagonale principale sono tutti nulli. La sua forma generale è

    (beginarrayc|c|c|c|cA_1 O O ··· O ; cline1-5O A_2 O ··· O ; cline1-5O O A_3 ··· O ; cline1-5⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ; cline1-5O O O O A_n endarray)

    e ne è un esempio

    (beginarrayc|c|c 1 2 ; 3 4 0 ; 0 0 0 ; 0 0 ; cline1-3 0 0 5 0 0 ; cline1-3 0 0 ; 0 0 0 ; 0 6 7 ; 8 9 endarray) = (beginarrayc|c|cA_1 O O ; cline1-3O A_2 O ; cline1-3O O A_3 endarray)

    Determinante di una matrice a blocchi triangolare e diagonale

    Il determinante di una matrice a blocchi di forma triangolare (superiore o inferiore) o di forma diagonale è dato dal prodotto dei determinanti delle sottomatrici quadrate poste sulla diagonale principale.

    Dunque, indicando con A una matrice a blocchi triangolare o diagonale e con A_1, A_2, ..., A_n le sottomatrici quadrate poste sulla diagonale principale, si ha che:

    det(A) = Π_(i = 1)^(n)det(A_i)

    Esempio

    Per calcolare il determinante della seguente matrice a blocchi

    A = (beginarrayc|c|c 1 2 3 1 0 1 ; cline1-3 0 ; 0 -2 4 ; 0 6 7 9 2 ; 0 4 8 ; cline1-3 0 ; 0 ; 0 0 0 ; 0 0 ; 0 0 1 0 0 ;-1 5 9 ; 6 2 4 endarray)

    è sufficiente calcolare i determinanti delle sottomatrici quadrate sulla diagonale principale

     det(A_1) = det[1] = 1 ; det(A_2) = det[-2 4 ; 0 6 ] = -12 ; det(A_3) = det[ 1 0 0 ;-1 5 9 ; 6 2 4] = 2

    per poi moltiplicarli tra loro

    det(A) = det(A_1)·det(A_2)·det(A_3) = 1·(-12)·2 = -24

    ***

    Le matrici a blocchi trovano largo impiego nella teoria e negli esercizi sulle matrici triangolabili e sulla forma canonica di Jordan.

    Risposta di Galois
 
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