Matrice triangolare

Giuseppe Carichino (Galois) - 20/04/2023

Cos'è una matrice triangolare? Potreste riportare la definizione di matrice triangolare, elencarne le proprietà e dirmi che differenza c'è tra matrice triangolare superiore e matrice triangolare inferiore, mostrandomi qualche esempio?

Soluzione

Una matrice triangolare è una matrice quadrata in cui tutti gli elementi sopra o sotto la diagonale principale sono nulli; in particolare, se sono nulli gli elementi sopra la diagonale la matrice è detta triangolare inferiore, se sono nulli quelli sotto la diagonale si ha una matrice triangolare superiore.

Volendo esprimere in formule le definizioni di matrice triangolare superiore e inferiore diremo che:

A = (a_(ij)) ∈ Mat(n,n,K) triangolare superiore ⇔ a_(ij) = 0 per ogni i > j ; A = (a_(ij)) ∈ Mat(n,n,K) triangolare inferiore ⇔ a_(ij) = 0 per ogni i < j

Se una matrice è sia triangolare superiore che triangolare inferiore, è detta matrice diagonale.

Esempi

[4 7 ; 0 3] [1 2 3 ; 0 5 6 ; 0 0 9] [4 0 0 7 ; 0 0 -2 -1 ; 0 0 8 -4 ; 0 0 0 2]

sono matrici triangolari superiori.

[4 0 ; 7 3] [1 0 0 ; 2 5 0 ; 3 6 9] [ 9 0 0 0 ; 3 2 0 0 ; 0 0 0 0 ; 1 2 4 3 ]

sono matrici triangolari inferiori.

[1 0 ; 0 2] [4 0 0 ; 0 0 0 ; 0 0 -3] [ 7 0 0 0 ; 0 5 0 0 ; 0 0 -1 0 ; 0 0 0 3 ]

sono matrici triangolari superiori e triangolari inferiori, nonché matrici diagonali.

Operazioni tra matrici triangolari

Alcune tra le principali operazioni tra matrici conservano la forma triangolare, infatti:

- la somma tra matrici triangolari dello stesso tipo è ancora una matrice triangolare;

- il prodotto riga per colonna tra matrici triangolari superiori (o inferiori) restituisce una matrice triangolare superiore (o inferiore);

- il prodotto di uno scalare per una matrice triangolare è una matrice triangolare dello stesso tipo;

- se una matrice triangolare è invertibile, la sua matrice inversa mantiene la stessa forma triangolare;

- la trasposta di una matrice triangolare superiore è una matrice triangolare inferiore, e viceversa.

Proprietà delle matrici triangolari

Ecco un elenco di altre proprietà sulle matrici triangolari, sia superiori che inferiori, utili a risparmiare un po' di calcoli negli esercizi:

- il rango di una matrice triangolare è uguale al numero degli elementi non nulli della diagonale principale;

- il determinante di una matrice triangolare si calcola moltiplicando tra loro gli elementi della diagonale principale;

- gli autovalori di una matrice triangolare sono gli elementi della diagonale principale.

Esempio

La seguente matrice

A = [1 4 2 ; 0 0 -1 ; 0 0 5]

è una matrice triangolare superiore. Volendo calcolare rango, determinante e autovalori possiamo concludere immediatamente che:

- il suo rango è 2, tanti quanti sono gli elementi non nulli della diagonale principale;

- il determinante è 0, e si ottiene dal prodotto degli elementi della diagonale

- i suoi autovalori sono

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Sotto opportune condizioni e attraverso un particolare algoritmo è possibile ricavare una matrice triangolare superiore simile a un'assegnata matrice, che conserva cioè stessi autovalori, stesso determinante, stesso rango e stessa traccia. Tale processo è conosciuto col nome di algoritmo di triangolazione e lo trovate spiegato nella lezione del link.

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