Soluzioni
  • Una matrice triangolare è una matrice quadrata in cui tutti gli elementi sopra o sotto la diagonale principale sono nulli; in particolare, se sono nulli gli elementi sopra la diagonale la matrice è detta triangolare inferiore, se sono nulli quelli sotto la diagonale si ha una matrice triangolare superiore.

    Volendo esprimere in formule le definizioni di matrice triangolare superiore e inferiore diremo che:

    \\ A=(a_{ij}) \in Mat(n,n,\mathbb{K}) \mbox{ triangolare superiore} \iff a_{ij}=0 \mbox{ per ogni } i>j \\ \\ A=(a_{ij}) \in Mat(n,n,\mathbb{K}) \mbox{ triangolare inferiore} \iff a_{ij}=0 \mbox{ per ogni } i<j

    Se una matrice è sia triangolare superiore che triangolare inferiore, è detta matrice diagonale.

    Esempi

    \begin{pmatrix}4&7 \\ 0&3\end{pmatrix} \ \ \ \begin{pmatrix}1&2&3 \\ 0&5&6 \\ 0&0&9\end{pmatrix} \ \ \ \begin{pmatrix}4&0&0&7 \\ 0&0&-2&-1 \\ 0&0&8&-4 \\ 0&0&0&2\end{pmatrix}

    sono matrici triangolari superiori.

    \begin{pmatrix}4&0 \\ 7&3\end{pmatrix} \ \ \ \begin{pmatrix}1&0&0 \\ 2&5&0 \\ 3&6&9\end{pmatrix} \ \ \ \begin{pmatrix} 9&0&0&0 \\ 3&2&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ 1&2&4&3 \end{pmatrix}

    sono matrici triangolari inferiori.

    \begin{pmatrix}1&0 \\ 0&2\end{pmatrix} \ \ \ \begin{pmatrix}4&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&-3\end{pmatrix} \ \ \ \begin{pmatrix} 7&0&0&0 \\ 0&5&0&0 \\ 0&0&-1&0 \\ 0&0&0&3 \end{pmatrix}

    sono matrici triangolari superiori e triangolari inferiori, nonché matrici diagonali.

    Operazioni tra matrici triangolari

    Alcune tra le principali operazioni tra matrici conservano la forma triangolare, infatti:

    - la somma tra matrici triangolari dello stesso tipo è ancora una matrice triangolare;

    - il prodotto riga per colonna tra matrici triangolari superiori (o inferiori) restituisce una matrice triangolare superiore (o inferiore);

    - il prodotto di uno scalare per una matrice triangolare è una matrice triangolare dello stesso tipo;

    - se una matrice triangolare è invertibile, la sua matrice inversa mantiene la stessa forma triangolare;

    - la trasposta di una matrice triangolare superiore è una matrice triangolare inferiore, e viceversa.

    Proprietà delle matrici triangolari

    Ecco un elenco di altre proprietà sulle matrici triangolari, sia superiori che inferiori, utili a risparmiare un po' di calcoli negli esercizi:

    - il rango di una matrice triangolare è uguale al numero degli elementi non nulli della diagonale principale;

    - il determinante di una matrice triangolare si calcola moltiplicando tra loro gli elementi della diagonale principale;

    - gli autovalori di una matrice triangolare sono gli elementi della diagonale principale.

    Esempio

    La seguente matrice

    A=\begin{pmatrix}1&4&2 \\ 0&0&-1 \\ 0&0&5\end{pmatrix}

    è una matrice triangolare superiore. Volendo calcolare rango, determinante e autovalori possiamo concludere immediatamente che:

    - il suo rango è 2, tanti quanti sono gli elementi non nulli della diagonale principale;

    - il determinante è 0, e si ottiene dal prodotto degli elementi della diagonale

    \mbox{det}(A)=1 \cdot 0 \cdot 5 = 0

    - i suoi autovalori sono \lambda_1=1, \ \lambda_2=0, \ \lambda_3=5

    ***

    Sotto opportune condizioni e attraverso un particolare algoritmo è possibile ricavare una matrice triangolare superiore simile a un'assegnata matrice, che conserva cioè stessi autovalori, stesso determinante, stesso rango e stessa traccia. Tale processo è conosciuto col nome di algoritmo di triangolazione e lo trovate spiegato nella lezione del link.

    ***

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    Risposta di Galois
 
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