Soluzioni
  • Un quadrato magico è uno schieramento di numeri interi positivi distinti, disposti in una tabella quadrata divisa in righe e colonne, tale che la somma dei numeri presenti in ogni riga, in ogni colonna e in entrambe le diagonali dia sempre lo stesso risultato.

    Costante di magia e quadrato magico perfetto

    Il risultato comune a righe, colonne e diagonali è detto costante di magia (o costante magica) e il numero di righe (uguale al numero di colonne) della tabella prende il nome di ordine del quadrato magico.

    Per completare un quadrato di ordine n servono n^2 numeri distinti. Se tali numeri coincidono con i numeri naturali compresi tra 1 e n^2 allora il quadrato magico è detto quadrato magico perfetto o quadrato magico normale.

    Quello riportato qui di seguito è un quadrato magico perfetto di ordine n=4 e costante di magia uguale a 34. Esso infatti ha 4 righe (e 4 colonne), ed è stato costruito con i numeri naturali compresi tra 1 e n^2=4^2=16. Inoltre, la somma degli elementi di ogni riga, di ogni colonna e delle due diagonali è uguale a 34.

     

    Quadrato magico

    Un esempio di quadrato magico (perfetto).

     

    Costante di magia e proprietà del quadrato magico

    1) In un quadrato magico perfetto il valore della costante di magia dipende solo dall'ordine n del quadrato e non da come sono disposti gli elementi. Tale costante, solitamente indicata con M_n, si calcola con la seguente formula

    M_n=\frac{n(n^2+1)}{2}

    Tornando al precedente esempio, la costante di magia di un quadrato magico perfetto di ordine 4 è proprio

    M_4=\frac{4 \cdot (4^2+1)}{2}= \frac{4 \cdot (16 + 1)}{2} = \\ \\ \\ =\frac{4 \cdot 17}{2} = \frac{68}{2} = 34

    2) Esiste un solo quadrato magico di ordine n=1 (quello formato dal solo numero 1) e non esistono quadrati magici di ordine n=2.

    3) Se si somma uno stesso numero naturale k a ciascun elemento di un quadrato magico perfetto con costante di magia M_n, si ottiene un nuovo quadrato magico (non più perfetto) con costante di magia M_n+nk.

    4) Se si moltiplica ciascun elemento di un quadrato magico perfetto di costante magica M_n per lo stesso numero naturale e non nullo k, il risultato è un nuovo quadrato magico ma non più perfetto con costante magica pari a k \cdot M_n.

    Costruzione di un quadrato magico

    Dalle precedenti proprietà 3) e 4) risulta evidente che un quadrato magico può essere costruito a partire dai quadrati magici perfetti, sommando o moltiplicando i suoi elementi per uno stesso numero naturale e non nullo k.

    In definitiva, per poter realizzare un qualsiasi quadrato magico basta sapere come si costruiscono i quadrati magici perfetti di ordine n, dove n può essere un qualsiasi numero naturale maggiore di 2.

    Non tutti i quadrati magici perfetti vengono creati allo stesso modo, e i metodi di costruzione variano a seconda dell'ordine n del quadrato, distinguendo i seguenti casi:

    - n è un numero dispari;

    - n è un numero semplicemente pari, cioè divisibile per 2 ma non per 4;

    - n è un numero doppiamente pari, ossia divisibile per 4.

    Vediamo come procedere al variare dei casi elencati, mostrando un esempio di applicazione per ciascuna tipologia.

    Costruzione di un quadrato magico di ordine dispari

    Quello riportato qui di seguito è conosciuto come metodo siamese o metodo di De la Loubère e permette di realizzare un quadrato magico perfetto di ordine dispari.

    1) Posizionare il numero 1 nella posizione centrale della prima riga;

    2) completare il quadrato disponendo gli elementi successivi 2, 3, ... fino a n^2 spostandosi di una posizione in alto a destra (↗), seguendo i seguenti accorgimenti:

    - se non è possibile spostarsi in alto (perché si è già nella prima riga) ci si sposta nell'ultima riga del quadrato;

    - se non è possibile spostarsi a destra (perché ci si trova nell'ultima colonna) ci si sposta nella prima colonna del quadrato;

    - se la posizione di inserimento è già occupata, il nuovo numero va inserito immediatamente sotto all'ultimo numero immesso.

    Esempio

    Nella seguente immagine abbiamo mostrato i vari passi che permettono di costruire un quadrato magico di ordine n=3, riportando in arancione il numero inserito in ogni passaggio.

     

    Costruzione di un quadrato magico dispari

    Esempio di costruzione di un quadrato magico di ordine dispari.

     

    Dopo aver posizionato il numero 1 al centro della prima riga, ci siamo spostati di una posizione a destra e non potendoci muovere in alto ci siamo posizionati nell'ultima riga, scrivendo il numero 2.

    Per trovare la corretta posizione di inserimento del numero 3 siamo ripartiti dalla prima colonna (non potendo andare a destra della posizione occupata dal numero 2) e siamo saliti di una riga rispetto a quella che conteneva il numero 2.

    La posizione in alto a destra del numero 3 è già occupata da 1, quindi il numero 4 è stato inserito immediatamente sotto il 3.

    Spostandoci di una posizione a destra e di una in alto abbiamo riportato il numero 5.

    Continuando allo stesso modo abbiamo completato tutto il quadrato con i numero naturali da 1 a 9, ottenendo così un quadrato perfetto di ordine 3 con costante di magia pari a 15.

    Costruzione di un quadrato magico di ordine semplicemente pari

    Per costruire un quadrato magico avente per ordine un numero pari non divisibile per 4 esistono vari metodi, di cui quello a nostro avviso più semplice è il metodo Strachey, che abbiamo riportato qui di seguito.

    1) Costruire la griglia di base del quadrato e dividerla in quattro sottoquadrati di ordine \frac{n}{2} chiamando A il sottoquadrato in alto a sinistra, B quello in basso a destra, C quello in alto a destra e D quello in basso a sinistra.

    2) Ciascuno dei quattro sottoquadrati ha ordine dispari, infatti essendo n un numero pari non divisibile per 4, \frac{n}{2} è un numero dispari maggiore di 1, che bisogna esprimere nella forma 2k+1.

    Vi consigliamo di appuntarvi e ricordare il valore del numero k, che sarà usato a breve.

    3) Completare individualmente i sottoquadrati A, \ B, \ C, \ D con il metodo siamese facendo in modo che:

    - A contenga i numeri da 1 a \frac{n^2}{4}

    - B contenga i numeri da \frac{n^2}{4} + 1 a \frac{n^2}{2}

    - C contenga i numeri da \frac{n^2}{2} + 1 a \frac{3n^2}{4}

    - D contenga i numeri da \frac{3n^2}{4} + 1 a n^2

    4) Scambiare le prime k colonne di sinistra di A con le corrispondenti colonne di D.

    5) Scambiare le ultime k-1 colonne di C con le corrispondenti colonne di B.

    6) Scambiare il numero centrale della prima colonna di A con il numero centrale della prima colonna di D.

    7) Scambiare il numero centrale del sottoquadrato A con il numero centrale del sottoquadrato D.

    Il risultato è un quadrato magico perfetto di ordine n.

    Esempio

    Usando il metodo appena esposto costruiamo un quadrato magico perfetto di ordine n=6.

    La griglia del quadrato è formata da 6 righe e 6 colonne, per un totale di n^2=36 quadratini.

    Dividiamola in 4 sottoquadrati di ordine \frac{n}{2}=\frac{6}{2}=3 denominando A il sottoquadrato in alto a sinistra, B quello in basso a destra, C quello in alto a destra e D quello in basso a sinistra.

    L'ordine di ciascun sottoquadrato è quindi 3, che possiamo scrivere nella forma 2k+1 con k=1.

    Completiamo ciascun sottoquadrato con il metodo siamese e in modo che

    - A contenga i numeri da 1 a \frac{n^2}{4}=\frac{6^2}{4}=\frac{36}{4}=9

    - B contenga i numeri da \frac{n^2}{4} + 1 = 10 a \frac{n^2}{2} = \frac{36}{2}=18

    - C contenga i numeri da \frac{n^2}{2} + 1 = 19 a \frac{3n^2}{4} = 27

    - D contenga i numeri da \frac{3n^2}{4} + 1=28 a n^2=36

     

    Passo 1: costruzione di un quadrato magico semplicemente pari

     

    Ricordando che k=1, scambiamo la prima colonna di A con la prima colonna di D

     

    Passo 2: costruzione di un quadrato magico semplicemente pari

     

    Ora dovremmo scambiare le ultime k-1 colonne di C con le corrispondenti colonne di B, ma essendo k=1 segue che k-1=1-1=0, quindi non dobbiamo far nulla.

    Proseguiamo invertendo il numero centrale della prima colonna di A con il numero centrale della prima colonna di D e scambiando il numero centrale di A con il numero centrale di D.

     

    Costruzione di un quadrato magico semplicemente pari

     

    Abbiamo così ottenuto un quadrato magico perfetto di ordine 6 e costante di magia uguale a 111, infatti

    M_6=\frac{6 \cdot (6^2+1)}{2}= \frac{6 \cdot (36 + 1)}{2} = \frac{6 \cdot 37}{2} = \frac{222}{2} = 111

    Costruzione di un quadrato magico di ordine doppiamente pari

    Per realizzare un quadrato magico di ordine n doppiamente pari, cioè con n divisibile per 4, vi proponiamo il metodo delle X, conosciuto anche come metodo delle diagonali.

    1) Costruire la griglia iniziale del quadrato che sarà formata da n^2 quadretti disposti su n righe e n colonne.

    2) Riempire tutte le caselle in sequenza e procedendo in orizzontale, disponendo ordinatamente tutti i numeri da 1 a n^2.

    3) Dividere il quadrato in sottoquadrati di ordine 4 e tracciare le diagonali di ciascun sottoquadrato.

    4) Sostituire ogni numero a attraversato da una diagonale con n^2+1-a.

    Dopo aver eseguito tutte le sostituzioni, il risultato sarà un quadrato magico perfetto di ordine n.

    Esempio

    Realizziamo un quadrato magico perfetto di ordine 8.

    Costruiamo la griglia del quadrato e riempiamo le varie caselle disponendo in modo ordinato tutti i numeri da 1 a n^2=8^2=64.

     

    Passo 1: costruzione di un quadrato magico doppiamente pari

     

    Suddividiamo il quadrato in sottoquadrati di ordine 4 e tracciamone le diagonali.

     

    Passo 2: costruzione di un quadrato magico semplicemente pari

     

    Sostituiamo ogni numero a attraversato da una diagonale con n^2+1-a. Dobbiamo allora sostituire

    1 con n^2+1-1=8^2+1-1=64+1-1=64

    4 con n^2+1-4=8^2+1-4=64+1-4=61

    5 con n^2+1-5=8^2+1-5=64+1-5=60

    8 con n^2+1-8=8^2+1-8=64+1-8=57

    ... e così via.

    Terminate tutte le sostituzioni si ottiene

     

    Costruzione di un quadrato magico doppiamente pari

     

    che è un quadrato magico perfetto di ordine 8 e costante di magia M_8=260.

    ***

    In Matematica, un quadrato magico altro non è se non una matrice quadrata, di cui potete leggere tutto quello che c'è da sapere nella pagina del link. ;)

    Risposta di Galois
 
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