Soluzioni
  • Si dice formula geometrica una relazione tra due o più enti geometrici riferiti alla stessa figura o a più figure geometriche. Ogni formula definisce un procedimento di calcolo utile per determinare la misura di un ente, quale potrebbe essere la misura di un lato, l'area di una figura piana, il volume di un solido o l'ampiezza di un angolo.

    Tra le formule geometriche si distinguono:

    - le formule geometriche piane, che coinvolgono i poligoni o altre figure del piano e che trovate nei nostri formulari di Geometria Piana;

    - le formule geometriche solide, inerenti i solidi geometrici e che potete consultare leggendo i vari formulari di Geometria Solida;

    - le formule trigonometriche, ossia le formule in cui compaiono una o più funzioni goniometriche e di cui ce ne siamo occupati nella sezione dedicata alla Trigonometria;

    - le formule di Geometria Analitica.

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    Se siete alla ricerca delle formule dell'area o delle formule per il volume vi rimandiamo alle pagine dei rispettivi link. ;)

    Esempi di formule geometriche

    1) La formula per il calcolo dell'area del quadrato

    A=L^2

    è una formula geometrica piana che coinvolge due enti della stessa figura, l'area e il lato.

    2) Siano F e F' sono due figure piane simili e indichiamo con 2p e (2p)' i loro perimetri e con k il rapporto di similitudine.

    (2p)' = k \cdot (2p)

    è una formula geometrica piana che mette in relazione due enti (i perimetri) appartenenti alle due figure distinte.

    3) La formula del volume della sfera

    V=\frac{4}{3} \pi r^3

    è un esempio di formula geometrica della Geometria Solida che mette in relazione il volume di una sfera con la misura del raggio.

    4) La relazione fondamentale della Trigonometria

    \sin^2{\alpha}+\cos^2(\alpha)=1

    rientra tra quelle che vengono dette formule trigonometriche, infatti compaiono seno e coseno.

    5) Le formule utili a determinare le coordinate cartesiane del punto medio di un segmento di estremi A(x_A, \ y_A)B(x_B, \ y_B)

    \\ x_M=\frac{x_A+x_B}{2} \ \ \ ;\ \ \ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}

    sono un esempio di formule di Geometria Analitica.

    Formule geometriche dirette e inverse

    Si definisce formula geometrica diretta una relazione che permette di calcolare immediatamente l'ente di nostro interesse, mentre si dicono formule inverse tutte quelle che si possono ricavare da una formula diretta mediante alcuni passaggi algebrici.

    Per fissare le idee consideriamo un rettangolo e indichiamone con A l'area, con b la base e con h l'altezza.

    Se volessimo calcolare l'area del rettangolo si dovrebbero moltiplicare le misure di base e altezza

    A=b \times h

    cioè usare quella che viene detta formula diretta dell'area del rettangolo e da cui si possono ricavare le due formule inverse:

    \\ b=\frac{A}{h} \\ \\ \\ h=\frac{A}{b}

    Tuttavia, nulla ci vieta di considerare come diretta la formula per il calcolo della base

    b=\frac{A}{h}

    e da essa ricavare le formule

    \\ A = b \times h \\ \\ h=\frac{A}{b}

    Risulta così evidente che non vi sono formule dirette in senso assoluto, ma la scelta è del tutto libera e personale.

    Come si ricavano le formule inverse

    Nel corso degli studi si incontrano così tante formule che sarebbe impossibile impararle tutte a memoria; vi consigliamo quindi di decidere quali formule assumere come dirette e di imparare il metodo utile a ricavare le relative formule inverse.

    I docenti di scuola media e scuola superiore consigliano ai propri studenti di memorizzare le formule per il calcolo dell'area e del perimetro delle figure piane e per il calcolo dell'area e del volume dei solidi e da esse ricavare tutte le altre.

    A tale scopo si devono invertire i due termini dell'uguaglianza e isolare l'elemento di nostro interesse disfandoci di tutti gli altri, che devono essere portati a destra dell'uguale. Per capire come procedere facciamo qualche esempio.

    1) Consideriamo la formula dell'area del triangolo

    A=\frac{b \times h}{2}

    Per ricavare la relazione utile a determinare la misura della base dobbiamo isolare b, cioè ottenere una formula del tipo

    b=.....

    La prima cosa da fare è invertire i due termini dell'uguaglianza

    \frac{b \times h}{2}=A

    per poi disfarci del denominatore moltiplicando da ambo le parti per 2

    2 \times \frac{b \times h}{2} = 2 \times A

    semplifichiamo

    b \times h = 2 \times A

    e dividiamo per h

    \\ \frac{b \times h}{h}=\frac{2 \times A}{h} \\ \\ \\ b=\frac{2 \times A}{h}

    Finito! A ben vedere non abbiamo fatto altro che applicare le regole delle equazioni considerando b come incognita e A,\ h come valori numerici (in realtà, come parametri).

    2) Ricavare la formula che permette di calcolare la misura della base maggiore a partire dalla formula dell'area del trapezio

    A=\frac{(B+b) \times h}{2}

    Invertiamo i due termini dell'uguaglianza

    \frac{(B+b) \times h}{2} = A

    ed eseguiamo i vari passaggi con lo scopo di isolare B, che rappresenta la base maggiore.

    Moltiplichiamo per 2

    \\ 2 \times \frac{(B+b) \times h}{2} = 2 \times A \\ \\ \\ (B+b) \times h = 2 \times A

    Portiamo h a destra dell'uguale dividendo da ambo le parti per h

    \\ \frac{(B+b)}{h} = \frac{2 \times A}{h} \\ \\ \\ B+b = \frac{2 \times A}{h}

    e concludiamo sottraendo b da ambo le parti

    \\ B+b-b=\frac{2 \times A}{h}-b \\ \\ \\ B=\frac{2 \times A}{h}-b

    Quella così ottenuta è la formula cercata.

    ***

    Nel prosieguo degli studi, dopo aver acquisito piena padronanza dell'uso delle equazioni, ricavare le formule inverse diventa un gioco da ragazzi; basta infatti considerare come incognita l'elemento da calcolare e applicare i principi di equivalenza. ;)

    Risposta di Galois
 
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