Soluzioni
  • L'area di un poligono è la misura della superficie interna del poligono, che possiamo definire anche come la misura della porzione di piano racchiusa tra i lati del poligono.

    Nella seguente immagine abbiamo evidenziato in arancione la superficie interna di un quadrilatero; la sua misura è quella che viene detta area.

     

    Area poligono

    Area di un poligono = misura della regione di piano compresa tra i suoi lati (in arancione).

     

    Formule dell'area dei poligoni

    Nella tabella sottostante elenchiamo le formule dirette che si usano per calcolare le aree dei poligoni che si studiano in Geometria Piana.

    Cliccando sul nome di ciascun poligono è possibile consultare un intero formulario dedicato alla figura scelta, in cui proponiamo tutte le formule, comprese le formule inverse dell'area, e le principali proprietà.

     

    Poligono

    Formule per il calcolo dell'area

    Triangolo

    \mbox{Area}=\frac{\mbox{base}\times \mbox{altezza}}{2}

    oppure

    \mbox{Area}=\sqrt{p\times (p-a)\times (p-b)\times (p-c)}

    dove a, \ b, \ c sono le misure dei tre lati del triangolo e p è il semiperimetro.

    La precedente formula è conosciuta come formula di Erone.

    Triangolo rettangolo

    \mbox{Area}= \frac{\mbox{Cateto}\times\mbox{cateto}}{2}

    Triangolo rettangolo 30° - 60°

    \mbox{Area}=\frac{\sqrt{3}}{8}\times\mbox{ipotenusa}^2

    Triangolo rettangolo isoscele

    \mbox{Area}= \frac{\mbox{cateto}^2}{2}=\frac{\mbox{ipotenusa}^2}{4}

    Triangolo equilatero

    \mbox{Area}= \frac{\sqrt{3}}{4} \times \mbox{lato}^2

    Quadrato

    \mbox{Area}=\mbox{lato}\times \mbox{lato}= \mbox{lato}^2

    Rettangolo

    \mbox{Area}=\mbox{base}\times \mbox{altezza}

    Parallelogramma

    \mbox{Area}=\mbox{base}\times\mbox{altezza}

    Rombo

    \mbox{Area}=\frac{\mbox{Diagonale}\times \mbox{diagonale}}{2}

    Trapezio

    \mbox{Area}= \frac{(\mbox{Base}+\mbox{base})\times \mbox{altezza}}{2}

    Poligoni regolari

    \mbox{Area}=\mbox{lato}^2 \times \varphi

    dove \varphi è la costante d'area, che varia da poligono a poligono

    Poligoni circoscritti a una circonferenza

    \mbox{Area}=\frac{\mbox{perimetro} \times \mbox{apotema}}{2}

    dove l'apotema è il raggio della circonferenza inscritta al poligono.

    Questa è spesso usata anche per il calcolo dell'area dei poligoni regolari.

     

    Esercizi svolti sull'area dei poligoni

    Passiamo agli esercizi e svolgiamo qualche problema sul calcolo dell'area, con lo scopo di prendere confidenza con le formule elencate.

    1) Il lato obliquo di un triangolo isoscele misura 3,7 metri e la base è di 2,4 metri. Calcolare l'area.

    Svolgimento: indichiamo con b la base, con L il lato obliquo e con h l'altezza del triangolo isoscele.

    Sappiamo che:

    \\ L=3,7 \mbox{ m} \\ \\ b=2,4 \mbox{ m}

    Per determinare l'area del triangolo ci manca la misura dell'altezza, che possiamo calcolare con il teorema di Pitagora.

    \\ h=\sqrt{L^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{(3,7 \mbox{ m})^2 - \left(\frac{2,4 \mbox{ m}}{2}\right)^2}= \\ \\ \\ = \sqrt{(3,7 \mbox{ m})^2-(1,2 \mbox{ m})^2} = \sqrt{13,69 \mbox{ m}^2 - 1,44 \mbox{ m}^2}=\\ \\ =\sqrt{12,25 \mbox{ m}^2} = 3,5 \mbox{ m}

    Quindi

    A=\frac{b \times h}{2}=\frac{(2,4 \mbox{ m}) \times (3,5 \mbox{ m})}{2} = \frac{8,4 \mbox{ m}^2}{2} = 4,2 \mbox{ m}^2

    2) Calcolare l'area di un quadrato la cui diagonale misura 9√2 centimetri.

    Svolgimento: la diagonale di un quadrato è data dal prodotto tra la misura del lato e la radice quadrata di 2

    d=L\sqrt{2}

    Sapendo che

    d=9\sqrt{2} \mbox{ cm}

    individuiamo la misura del lato invertendo la precedente formula in favore di L

    L=\frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{9 \sqrt{2} \mbox{ cm}}{\sqrt{2}} = 9 \mbox{ cm}

    Possiamo ora calcolare l'area del quadrato elevando il lato alla seconda

    A=L^2 = (9 \mbox{ cm})^2 = 81 \mbox{ cm}^2

    3) La base di un rettangolo è di 6 decimetri e l'altezza è 1/3 della base. Calcolarne l'area.

    Svolgimento: troviamo la misura dell'altezza moltiplicando quella della base per 1/3

    h=\frac{1}{3} \times b = \frac{1}{3} \times (6 \mbox{ dm}) = 2 \mbox{ dm}

    per poi calcolare l'area del rettangolo con la relativa formula

    A=b \times h = (6 \mbox{ dm}) \times (2 \mbox{ dm}) = 12 \mbox{ dm}^2

    4) Individuare l'area di un rombo di cui è noto che il lato misura 5 metri e che la diagonale minore è di 6 metri.

    Svolgimento: siano d la diagonale minore, D la diagonale maggiore e L il lato.

    Per poter applicare la formula dell'area del rombo

    A=\frac{d \times D}{2}

    ci manca la lunghezza della diagonale maggiore.

    Ricordiamo che le due diagonali dividono il rombo in quattro triangoli rettangoli congruenti, aventi per ipotenusa il lato L e come cateti \frac{d}{2} e \frac{D}{2}.

    Possiamo allora calcolare la metà della diagonale maggiore con il teorema di Pitagora

    \\ \frac{D}{2}=\sqrt{L^2-\left(\frac{d}{2}\right)^2} = \sqrt{(5 \mbox{ m})^2 - \left(\frac{6 \mbox{ m}}{2}\right)^2}= \\ \\ \\ = \sqrt{(5 \mbox{ m})^2-(3 \mbox{ m})^2} = \sqrt{25 \mbox{ m}^2 - 9 \mbox{ m}^2}=\\ \\ =\sqrt{16 \mbox{ m}^2} = 4 \mbox{ m}

    Di conseguenza

    D=2 \times \frac{D}{2} = 2 \times (4 \mbox{ m}) = 8 \mbox{ m}

    Abbiamo tutto quello che ci serve per determinare l'area

    A=\frac{d \times D}{2}=\frac{(6 \mbox{ m}) \times (8 \mbox{ m})}{2} = \frac{48 \mbox{ m}^2}{2} = 24 \mbox{ m}^2

    5) Il perimetro di un trapezio isoscele è di 40 cm. Calcolarne l'area sapendo che il lato obliquo misura 8 cm e che l'altezza è di 12 cm.

    Svolgimento: riportiamo i dati a nostra disposizione

    \\ 2p = 40 \mbox{ cm} \\ \\ L=8 \mbox{ cm} \\ \\ h = 12 \mbox{ cm}

    Per poter usare la formula dell'area del trapezio

    A=\frac{(b+B) \times h}{2}

    ci manca la somma delle basi, che possiamo ricavare invertendo la formula del perimetro del trapezio isoscele

    \\ 2p = b+B+2L \\ \\ b+B= 2p - 2L = 40 \mbox{ cm} - 2 \times (8 \mbox{ cm}) = \\ \\ =40 \mbox{ cm} - 16 \mbox{ cm} = 24 \mbox{ cm}

    Dunque

    A=\frac{(b+B) \times h}{2}=\frac{(24 \mbox{ cm}) \times (12 \mbox{ cm})}{2} = \\ \\ \\ =\frac{288 \mbox{ cm}^2}{2}=144 \mbox{ cm}^2

    6) Il lato di un pentagono regolare è di 5 metri. Quanto misura la sua area?

    Svolgimento: l'area di un pentagono regolare si calcola come prodotto tra il quadrato del lato e la costante d'area \varphi=1,72

    Quindi

    A=L^2 \times \varphi = (5 \mbox{ m})^2 \times 1,72 = \\ \\ =(25 \mbox{ m}^2) \times 1,72 = 43 \mbox{ m}^2

    Area di un poligono qualsiasi

    Se il poligono di cui si deve calcolare l'area non rientra tra quelli riportati in tabella, lo si deve scomporre in due o più poligoni di cui sono note le formule dell'area, per poi sommare le singole aree ottenute.

    Esempio

    Calcolare l'area dell'esagono raffigurato nella seguente immagine

     

    Area di un poligono qualsiasi

     

    Tracciando il segmento che unisce i vertici B ed E si divide il poligono in un parallelogramma e in un rettangolo, di cui sappiamo come calcolare le rispettive aree.

    Del rettangolo conosciamo le misure di base e altezza

    \\ b=\overline{AF}=12 \mbox{ cm} \\ \\ h = \overline{EF}=5 \mbox{ cm}

    Quindi

    A_{AFEB}=\overline{AF} \times \overline{EF} = (12 \mbox{ cm}) \times (5 \mbox{ cm}) = 60 \mbox{ cm}^2

    Anche del parallelogramma sono note le misure di base e altezza

    \\ b=\overline{BE}=\overline{AF} = 12 \mbox{ cm} \\ \\ h = \overline{BH}=3 \mbox{ cm}

    dunque possiamo calcolarne l'area

    A_{BEDC}=\overline{BE} \times \overline{BH} = (12 \mbox{ cm}) \times (3 \mbox{ cm}) = 36 \mbox{ cm}^2

    Concludiamo determinando l'area del poligono come somma delle aree di rettangolo e parallelogramma

    A_{ABCDEF}=A_{AFEB}+A_{BEDC}=60 \mbox{ cm}^2 + 36 \mbox{ cm}^2 = 96 \mbox{ cm}^2

    ***

    È tutto! Per sapere come si calcola il perimetro di una figura piana vi rimandiamo alla pagina del link. ;)

    Risposta di Galois
 
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