Area dei poligoni: tutte le formule con esempi svolti

Autore: Giuseppe Carichino (Galois) -
Ultimo aggiornamento:

Cos'è e come si calcola l'area dei poligoni? Potreste spiegarmi come si calcola l'area dei poligoni regolari e l'area dei poligoni irregolari, e proporre qualche problema svolto?

Mi servirebbe anche una tabella di riepilogo con le formule per il calcolo dell'area dei poligoni che si studiano in geometria piana, come ad esempio il triangolo, il quadrato, il rettangolo, il rombo, il parallelogramma e il trapezio.

L'area di un poligono è la misura della superficie interna del poligono, che possiamo definire anche come la misura della porzione di piano racchiusa tra i lati del poligono.

Nella seguente immagine abbiamo evidenziato in arancione la superficie interna di un quadrilatero; la sua misura è quella che viene detta area.

Area poligono

Area di un poligono = misura della regione di piano compresa tra i suoi lati (in arancione).

Formule dell'area dei poligoni

Nella tabella sottostante elenchiamo le formule dirette che si usano per calcolare le aree dei poligoni che si studiano in Geometria Piana.

Cliccando sul nome di ciascun poligono è possibile consultare un intero formulario dedicato alla figura scelta, in cui proponiamo tutte le formule, comprese le formule inverse dell'area, e le principali proprietà.

Poligono

Formule per il calcolo dell'area

Triangolo

Area = base · altezza / 2

Triangolo (Formula di Erone)

Area = √(p · (p-a) · (p-b) · (p-c) )

con a,b,c misure dei lati e p semiperimetro.

Triangolo rettangolo

Area = cateto1 · cateto2 / 2

Triangolo rettangolo 30° - 60°

Area = (√(3)/8) · ipotenusa2

Triangolo rettangolo isoscele

Area = cateto2 / 2 = ipotenusa2 / 4

Triangolo equilatero

Area = (√(3)/4) · lato2

Quadrato

Area = lato2

Rettangolo

Area = base · altezza

Parallelogramma

Area = base · altezza

Rombo

Area = diagonale1 · diagonale2 / 2

Trapezio

Area = (base1 + base2) · altezza / 2

Poligoni regolari

Area = lato2 · φ

con φ costante d'area del poligono regolare

Poligoni circoscritti a una circonferenza

Area = perimetro · apotema / 2

Esercizi svolti sull'area dei poligoni

Passiamo agli esercizi e svolgiamo qualche problema sul calcolo dell'area, con lo scopo di prendere confidenza con le formule elencate.

1) Il lato obliquo di un triangolo isoscele misura 3,7 metri e la base è di 2,4 metri. Calcolare l'area.

Svolgimento: indichiamo con b la base, con L il lato obliquo e con h l'altezza del triangolo isoscele.

Sappiamo che:

 L = 3,7 m ; b = 2,4 m

Per determinare l'area del triangolo ci manca la misura dell'altezza, che possiamo calcolare con il teorema di Pitagora.

 h = √(L^2−((b)/(2))^2) = √((3,7 m)^2−((2,4 m)/(2))^2) = √((3,7 m)^2−(1,2 m)^2) = √(13,69 m^2−1,44 m^2) = √(12,25 m^2) = 3,5 m

Quindi

A = (b×h)/(2) = ((2,4 m)×(3,5 m))/(2) = (8,4 m^2)/(2) = 4,2 m^2

2) Calcolare l'area di un quadrato la cui diagonale misura 9√2 centimetri.

Svolgimento: la diagonale di un quadrato è data dal prodotto tra la misura del lato e la radice quadrata di 2

d = L√(2)

Sapendo che

d = 9√(2) cm

individuiamo la misura del lato invertendo la precedente formula in favore di L

L = (d)/(√(2)) = (9 √(2) cm)/(√(2)) = 9 cm

Possiamo ora calcolare l'area del quadrato elevando il lato alla seconda

A = L^2 = (9 cm)^2 = 81 cm^2

3) La base di un rettangolo è di 6 decimetri e l'altezza è 1/3 della base. Calcolarne l'area.

Svolgimento: troviamo la misura dell'altezza moltiplicando quella della base per 1/3

h = (1)/(3)×b = (1)/(3)×(6 dm) = 2 dm

per poi calcolare l'area del rettangolo con la relativa formula

A = b×h = (6 dm)×(2 dm) = 12 dm^2

4) Individuare l'area di un rombo di cui è noto che il lato misura 5 metri e che la diagonale minore è di 6 metri.

Svolgimento: siano d la diagonale minore, D la diagonale maggiore e L il lato.

Per poter applicare la formula dell'area del rombo

A = (d×D)/(2)

ci manca la lunghezza della diagonale maggiore.

Ricordiamo che le due diagonali dividono il rombo in quattro triangoli rettangoli congruenti, aventi per ipotenusa il lato L e come cateti (d)/(2) e (D)/(2).

Possiamo allora calcolare la metà della diagonale maggiore con il teorema di Pitagora

 (D)/(2) = √(L^2−((d)/(2))^2) = √((5 m)^2−((6 m)/(2))^2) = √((5 m)^2−(3 m)^2) = √(25 m^2−9 m^2) = √(16 m^2) = 4 m

Di conseguenza

D = 2×(D)/(2) = 2×(4 m) = 8 m

Abbiamo tutto quello che ci serve per determinare l'area

A = (d×D)/(2) = ((6 m)×(8 m))/(2) = (48 m^2)/(2) = 24 m^2

5) Il perimetro di un trapezio isoscele è di 40 cm. Calcolarne l'area sapendo che il lato obliquo misura 8 cm e che l'altezza è di 12 cm.

Svolgimento: riportiamo i dati a nostra disposizione

 2p = 40 cm ; L = 8 cm ; h = 12 cm

Per poter usare la formula dell'area del trapezio

A = ((b+B)×h)/(2)

ci manca la somma delle basi, che possiamo ricavare invertendo la formula del perimetro del trapezio isoscele

 2p = b+B+2L ; b+B = 2p−2L = 40 cm−2×(8 cm) = 40 cm−16 cm = 24 cm

Dunque

A = ((b+B)×h)/(2) = ((24 cm)×(12 cm))/(2) = (288 cm^2)/(2) = 144 cm^2

6) Il lato di un pentagono regolare è di 5 metri. Quanto misura la sua area?

Svolgimento: l'area di un pentagono regolare si calcola come prodotto tra il quadrato del lato e la costante d'area φ = 1,72

Quindi

A = L^2×φ = (5 m)^2×1,72 = (25 m^2)×1,72 = 43 m^2

Area di un poligono qualsiasi

Se il poligono di cui si deve calcolare l'area non rientra tra quelli riportati in tabella, lo si deve scomporre in due o più poligoni di cui sono note le formule dell'area, per poi sommare le singole aree ottenute.

Esempio

Calcolare l'area dell'esagono raffigurato nella seguente immagine

Area di un poligono qualsiasi

Tracciando il segmento che unisce i vertici B ed E si divide il poligono in un parallelogramma e in un rettangolo, di cui sappiamo come calcolare le rispettive aree.

Del rettangolo conosciamo le misure di base e altezza

 b = AF = 12 cm ; h = EF = 5 cm

Quindi

A_(AFEB) = AF×EF = (12 cm)×(5 cm) = 60 cm^2

Anche del parallelogramma sono note le misure di base e altezza

 b = BE = AF = 12 cm ; h = BH = 3 cm

dunque possiamo calcolarne l'area

A_(BEDC) = BE×BH = (12 cm)×(3 cm) = 36 cm^2

Concludiamo determinando l'area del poligono come somma delle aree di rettangolo e parallelogramma

A_(ABCDEF) = A_(AFEB)+A_(BEDC) = 60 cm^2+36 cm^2 = 96 cm^2

***

È tutto! Per sapere come si calcola il perimetro di una figura piana vi rimandiamo alla pagina del link. ;)

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