Soluzioni
  • Due figure simili sono due figure del piano o dello spazio per le quali è possibile passare dall'una all'altra applicando prima un'omotetia e successivamente un'isometria, o viceversa.

    Se ricordate poco su isometrie e omotetie, niente paura! Esistono infatti dei criteri, noti come criteri di similitudine, che permettono di stabilire se due poligoni o due solidi sono simili senza dover conoscere le trasformazioni geometriche.

    Esempio di figure simili

    Ad esempio, i triangoli F e F'' della seguente immagine sono figure simili, infatti F'' viene ottenuto dalla traslazione di vettore \vec{v} di F', che è immagine omotetica del triangolo F.

     

    Similitudine

    Esempio di figure simili

     

    Poligoni simili

    Partiamo dalla definizione: due poligoni F e F' con lo stesso numero di lati si dicono simili se è possibile porre in corrispondenza biunivoca i vertici di F con i vertici di F' in modo che:

    1) a vertici consecutivi di F corrispondano vertici consecutivi di F';

    2) gli angoli corrispondenti siano congruenti;

    3) il rapporto tra le misure dei lati omologhi sia costante, dove per lati omologhi si intendono le coppie di lati compresi tra i vertici che si corrispondono.

    Più brevemente, due poligoni simili hanno gli angoli ordinatamente uguali e i lati tra essi compresi in proporzione.

    Nella seguente immagine potete osservare un esempio di poligoni simili, dove abbiamo raffigurato due quadrilateri tali da avere gli angoli ordinatamente congruenti

    \alpha=\alpha', \ \beta=\beta', \ \gamma=\gamma', \ \delta=\delta'

    e i lati proporzionali tra loro, infatti

    \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{B'C'}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{C'D'}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{A'D'}}{\overline{AD}} = 2

     

    Poligoni simili

     

    Il numero che esprime il rapporto delle misure dei lati omologhi di due poligoni simili è detto rapporto di similitudine.

    Triangoli simili

    La definizione data per la similitudine tra poligoni risulta sovrabbondante nel caso in cui i poligoni considerati siano triangoli.

    Per i triangoli, infatti, l'uguaglianza degli angoli implica la proporzionalità tra i lati e, viceversa, la proporzionalità tra i lati implica l'uguaglianza degli angoli.

    In particolare, valgono i seguenti criteri di similitudine:

    Primo criterio: se due triangoli hanno gli angoli rispettivamente congruenti, allora sono simili.

    Secondo criterio: se due triangoli hanno un angolo uguale e i lati che lo comprendono in proporzione, allora sono simili.

    Terzo criterio: due triangoli sono simili se hanno i lati in proporzione.

    Lo stesso argomento è stato trattato nel dettaglio nella lezione sui criteri di similitudine dei triangoli.

    Similitudine tra poligoni regolari

    Prima di trattare la similitudine tra poligoni nel caso generale, è bene spendere due parole sui poligoni regolari, per cui vale il seguente teorema: due poligoni regolari con lo stesso numero di lati sono simili.

    Dimostrazione

    Siano F e F' due poligoni regolari con n lati.

    La somma degli angoli interni di un poligono è data dalla seguente formula

    \mbox{Somma degli angoli interni di un poligono di } n \mbox{ lati} = 180^{\circ} \times (n-2)

    Per definizione, un poligono regolare ha gli angoli interni congruenti tra loro, quindi ciascun angolo interno di F e di F' ha un ampiezza di

    \frac{180^{\circ} \times (n-2)}{n}

    Questo valore dipende solo dal numero dei lati, quindi possiamo concludere che F e F' hanno gli angoli rispettivamente congruenti.

    Inoltre, i lati di F sono congruenti tra loro, così come quelli di F', ragion per cui il rapporto di due lati omologhi è sempre lo stesso, qualsiasi sia la coppia che si considera.

    Avendo gli angoli congruenti e i lati in proporzione i due poligoni sono simili, e ciò conclude la dimostrazione.

    Criteri di similitudine tra poligoni

    Per i poligoni non regolari con più di 3 lati, l'uguaglianza degli angoli non implica necessariamente la proporzionalità dei lati, così come la proporzionalità tra i lati non garantisce l'uguaglianza degli angoli.

    Ad esempio un rettangolo e un quadrato sono equiangoli (gli angoli interni sono tutti retti), ma non hanno i lati proporzionali, mentre un quadrato e un rombo, pur avendo i lati in proporzione, hanno gli angoli interni disuguali.

    Ciò porterebbe a pensare che per dimostrare la similitudine tra poligoni con più di 3 lati occorre necessariamente verificare che tutti gli angoli siano uguali e che tutte le coppie di lati omologhi siano in proporzione, ma non è così.

    In verità, è possibile escludere dalla verifica:

    - un angolo e i lati che lo comprendono, oppure

    - due qualsiasi angoli consecutivi e il lato tra essi compreso, oppure

    - tre angoli consecutivi.

    Volendo essere più formali, possiamo formulare i seguenti criteri di similitudine tra poligoni, dove n indica il numero degli angoli (e quindi dei lati) dei poligoni presi in esame, con n>3.

    Primo criterio: due poligoni sono simili se n-1 angoli corrispondenti sono congruenti e tutte le coppie di lati che non comprendono l'angolo escluso sono in proporzione.

    Secondo criterio: due poligoni sono simili se n-2 coppie di angoli consecutivi sono congruenti e le coppie di lati che li comprendono sono in proporzione.

    Terzo criterio: due poligoni sono simili se n-3 angoli consecutivi sono congruenti e tutti i lati sono in proporzione.

    Esempio

    Consideriamo due pentagoni di vertici A,B,C,D,E e A',B',C',D',E'.

     

    Criteri di similitudine tra i triangoli

     

    - Per il primo criterio, per dimostrare che i pentagoni sono simili è sufficiente dimostrare che 4 angoli corrispondenti sono congruenti

    \alpha=\alpha', \ \beta=\beta', \ \gamma=\gamma', \ \delta=\delta'

    e tutte le coppie di lati che non comprendono l'angolo escluso sono in proporzione

    \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{B'C'}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{C'D'}}{\overline{CD}}

    - Se volessimo applicare il secondo criterio dovremmo invece verificare la congruenza tra 3 coppie di angoli consecutivi

    \alpha=\alpha', \ \beta=\beta', \ \gamma=\gamma'

    per poi dimostrare che le coppie di lati che li comprendono sono in proporzione

    \frac{\overline{A'E'}}{\overline{AE}} = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{B'C'}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{C'D'}}{\overline{CD}}

    - Infine, l'applicazione del terzo criterio ci imporrebbe di verificare l'uguaglianza di 2 angoli

    \alpha=\alpha', \ \beta=\beta'

    e la proporzionalità tra tutte le coppie di lati

    \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{B'C'}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{C'D'}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{D'E'}}{\overline{DE}} =\frac{\overline{A'E'}}{\overline{AE}}

    Scomposizione di poligoni simili in triangoli simili

    Come avrete di certo notato, è piuttosto complicato servirsi dei criteri dei similitudine tra poligoni. Fortunatamente si può usare un metodo molto più intuitivo, fornito dal seguente teorema (di cui omettiamo la dimostrazione): due poligoni simili vengono decomposti in triangoli simili dalle diagonali condotte da due vertici corrispondenti.

    In soldoni, per verificare la similitudine tra poligoni è sufficiente tracciare tutte le possibili diagonali a partire da due vertici che si corrispondono. Se si ottengono triangoli simili tra loro allora saranno tali anche i poligoni considerati.

     

    Scomposizione di poligoni simili in triangoli simili

     

    Proprietà dei poligoni simili

    Le proprietà dei poligoni simili sono, in realtà, dei veri e propri teoremi che mettono in relazione i lati omologhi con altri elementi, tra cui aree e perimetri.

    Nel riportarle abbiamo indicato con F e F' i due poligoni simili, con L e L' due lati omologhi, con 2p il perimetro, con A l'area e con d e d' due diagonali omologhe.

    Nel caso dei poligoni regolari, a e a' indicano gli apotemi e R e R' i raggi delle circonferenze circoscritte.

    1) I perimetri di due poligoni simili stanno tra loro come due lati omologhi.

    2p_{F} : 2p_{F'} = L : L'

    2) Le aree di due poligoni simili stanno tra loro come il quadrato dei lati omologhi

    A_{F} : A_{F'} = L^2 : (L')^2

    3) Le diagonali omologhe di due poligoni simili stanno tra loro cone due lati omologhi

    d : d' = L : L'

    4) I perimetri di due poligoni regolari con lo stesso numero di lati stanno tra loro come i rispettivi apotemi e come i raggi delle circonferenze circoscritte

    \\ 2p_{F} : 2p_{F'} = a : a' \\ \\ 2p_{F} : 2p_{F'} = R : R'

    5) Le aree di due poligoni regolari con lo stesso numero di lati stanno tra loro come i quadrati dei rispettivi apotemi e come i quadrati dei raggi delle circonferenze circoscritte

    \\ A_{F} : A_{F'} = a^2 : (a')^2 \\ \\ A_{F} : A_{F'} = R^2 : (R')^2

    Dalle varie proprietà, usando le proprietà delle proporzioni si ottengono delle formule utili a risolvere i problemi di Geometria sulle figure simili, quindi vi consigliamo di farne tesoro. ;)

    Solidi simili

    Due solidi sono simili se hanno la stessa forma e se gli elementi corrispondenti sono in proporzione.

    Dalla definizione segue che due sfere e due qualsiasi solidi platonici dello stesso tipo sono sempre simili.

    Per tutti gli altri occorre invece verificare che sia costante il rapporto tra i vari elementi corrispondenti, come spigoli, raggi di base, apotemi o altezze.

    A titolo di esempio consideriamo due piramidi regolari quadrangolari. Affinché siano simili il rapporto tra due qualsiasi spigoli di base deve essere pari al rapporto tra le misure delle altezze, altrimenti i due solidi, sebbene abbiano la stessa forma, non sono simili.

    Nella seguente immagine potete osservare due piramidi simili in cui

    \frac{L'}{L}=\frac{h'}{h}=2

     

    Solidi simili

    Un esempio di solidi simili.

     

    Concludiamo lasciandovi qualche spunto di approfondimento:

    - similitudine in Matematica;

    - figure simmetriche;

    - figure equivalenti.

    Risposta di Galois
 
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