Figure simili e criteri di similitudine

Due figure simili sono due figure del piano o dello spazio per le quali è possibile passare dall'una all'altra applicando prima un'omotetia e successivamente un'isometria, o viceversa.

Se ricordate poco su isometrie e omotetie, niente paura! Esistono infatti dei criteri, noti come criteri di similitudine, che permettono di stabilire se due poligoni o due solidi sono simili senza dover conoscere le trasformazioni geometriche.

Esempio di figure simili

Ad esempio, i triangoli e della seguente immagine sono figure simili, infatti viene ottenuto dalla traslazione di vettore di , che è immagine omotetica del triangolo .

Esempio di figure simili

Poligoni simili

Partiamo dalla definizione: due poligoni e con lo stesso numero di lati si dicono simili se è possibile porre in corrispondenza biunivoca i vertici di con i vertici di in modo che:

1) a vertici consecutivi di corrispondano vertici consecutivi di ;

2) gli angoli corrispondenti siano congruenti;

3) il rapporto tra le misure dei lati omologhi sia costante, dove per lati omologhi si intendono le coppie di lati compresi tra i vertici che si corrispondono.

Più brevemente, due poligoni simili hanno gli angoli ordinatamente uguali e i lati tra essi compresi in proporzione.

Nella seguente immagine potete osservare un esempio di poligoni simili, dove abbiamo raffigurato due quadrilateri tali da avere gli angoli ordinatamente congruenti

e i lati proporzionali tra loro, infatti

Il numero che esprime il rapporto delle misure dei lati omologhi di due poligoni simili è detto rapporto di similitudine.

Triangoli simili

La definizione data per la similitudine tra poligoni risulta sovrabbondante nel caso in cui i poligoni considerati siano triangoli.

Per i triangoli, infatti, l'uguaglianza degli angoli implica la proporzionalità tra i lati e, viceversa, la proporzionalità tra i lati implica l'uguaglianza degli angoli.

In particolare, valgono i seguenti criteri di similitudine:

Primo criterio: se due triangoli hanno gli angoli rispettivamente congruenti, allora sono simili.

Secondo criterio: se due triangoli hanno un angolo uguale e i lati che lo comprendono in proporzione, allora sono simili.

Terzo criterio: due triangoli sono simili se hanno i lati in proporzione.

Lo stesso argomento è stato trattato nel dettaglio nella lezione sui criteri di similitudine dei triangoli.

Similitudine tra poligoni regolari

Prima di trattare la similitudine tra poligoni nel caso generale, è bene spendere due parole sui poligoni regolari, per cui vale il seguente teorema: due poligoni regolari con lo stesso numero di lati sono simili.

Dimostrazione

Siano e due poligoni regolari con lati.

La somma degli angoli interni di un poligono è data dalla seguente formula

Per definizione, un poligono regolare ha gli angoli interni congruenti tra loro, quindi ciascun angolo interno di e di ha un ampiezza di

Questo valore dipende solo dal numero dei lati, quindi possiamo concludere che e hanno gli angoli rispettivamente congruenti.

Inoltre, i lati di sono congruenti tra loro, così come quelli di , ragion per cui il rapporto di due lati omologhi è sempre lo stesso, qualsiasi sia la coppia che si considera.

Avendo gli angoli congruenti e i lati in proporzione i due poligoni sono simili, e ciò conclude la dimostrazione.

Criteri di similitudine tra poligoni

Per i poligoni non regolari con più di 3 lati, l'uguaglianza degli angoli non implica necessariamente la proporzionalità dei lati, così come la proporzionalità tra i lati non garantisce l'uguaglianza degli angoli.

Ad esempio un rettangolo e un quadrato sono equiangoli (gli angoli interni sono tutti retti), ma non hanno i lati proporzionali, mentre un quadrato e un rombo, pur avendo i lati in proporzione, hanno gli angoli interni disuguali.

Ciò porterebbe a pensare che per dimostrare la similitudine tra poligoni con più di 3 lati occorre necessariamente verificare che tutti gli angoli siano uguali e che tutte le coppie di lati omologhi siano in proporzione, ma non è così.

In verità, è possibile escludere dalla verifica:

- un angolo e i lati che lo comprendono, oppure

- due qualsiasi angoli consecutivi e il lato tra essi compreso, oppure

- tre angoli consecutivi.

Volendo essere più formali, possiamo formulare i seguenti criteri di similitudine tra poligoni, dove indica il numero degli angoli (e quindi dei lati) dei poligoni presi in esame, con .

Primo criterio: due poligoni sono simili se angoli corrispondenti sono congruenti e tutte le coppie di lati che non comprendono l'angolo escluso sono in proporzione.

Secondo criterio: due poligoni sono simili se coppie di angoli consecutivi sono congruenti e le coppie di lati che li comprendono sono in proporzione.

Terzo criterio: due poligoni sono simili se angoli consecutivi sono congruenti e tutti i lati sono in proporzione.

Esempio

Consideriamo due pentagoni di vertici e .

- Per il primo criterio, per dimostrare che i pentagoni sono simili è sufficiente dimostrare che 4 angoli corrispondenti sono congruenti

e tutte le coppie di lati che non comprendono l'angolo escluso sono in proporzione

- Se volessimo applicare il secondo criterio dovremmo invece verificare la congruenza tra 3 coppie di angoli consecutivi

per poi dimostrare che le coppie di lati che li comprendono sono in proporzione

- Infine, l'applicazione del terzo criterio ci imporrebbe di verificare l'uguaglianza di 2 angoli

e la proporzionalità tra tutte le coppie di lati

Scomposizione di poligoni simili in triangoli simili

Come avrete di certo notato, è piuttosto complicato servirsi dei criteri dei similitudine tra poligoni. Fortunatamente si può usare un metodo molto più intuitivo, fornito dal seguente teorema (di cui omettiamo la dimostrazione): due poligoni simili vengono decomposti in triangoli simili dalle diagonali condotte da due vertici corrispondenti.

In soldoni, per verificare la similitudine tra poligoni è sufficiente tracciare tutte le possibili diagonali a partire da due vertici che si corrispondono. Se si ottengono triangoli simili tra loro allora saranno tali anche i poligoni considerati.

Proprietà dei poligoni simili

Le proprietà dei poligoni simili sono, in realtà, dei veri e propri teoremi che mettono in relazione i lati omologhi con altri elementi, tra cui aree e perimetri.

Nel riportarle abbiamo indicato con e i due poligoni simili, con e due lati omologhi, con il perimetro, con l'area e con e due diagonali omologhe.

Nel caso dei poligoni regolari, e indicano gli apotemi e e i raggi delle circonferenze circoscritte.

1) I perimetri di due poligoni simili stanno tra loro come due lati omologhi.

2) Le aree di due poligoni simili stanno tra loro come il quadrato dei lati omologhi

3) Le diagonali omologhe di due poligoni simili stanno tra loro cone due lati omologhi

4) I perimetri di due poligoni regolari con lo stesso numero di lati stanno tra loro come i rispettivi apotemi e come i raggi delle circonferenze circoscritte

5) Le aree di due poligoni regolari con lo stesso numero di lati stanno tra loro come i quadrati dei rispettivi apotemi e come i quadrati dei raggi delle circonferenze circoscritte

Dalle varie proprietà, usando le proprietà delle proporzioni si ottengono delle formule utili a risolvere i problemi di Geometria sulle figure simili, quindi vi consigliamo di farne tesoro. ;)

Solidi simili

Due solidi sono simili se hanno la stessa forma e se gli elementi corrispondenti sono in proporzione.

Dalla definizione segue che due sfere e due qualsiasi solidi platonici dello stesso tipo sono sempre simili.

Per tutti gli altri occorre invece verificare che sia costante il rapporto tra i vari elementi corrispondenti, come spigoli, raggi di base, apotemi o altezze.

A titolo di esempio consideriamo due piramidi regolari quadrangolari. Affinché siano simili il rapporto tra due qualsiasi spigoli di base deve essere pari al rapporto tra le misure delle altezze, altrimenti i due solidi, sebbene abbiano la stessa forma, non sono simili.

Nella seguente immagine potete osservare due piramidi simili in cui

Un esempio di solidi simili.

Concludiamo lasciandovi qualche spunto di approfondimento:

- similitudine in Matematica;

- figure simmetriche;

- figure equivalenti.