Piramide a base triangolare: formule, classificazione ed esempi

Si dice piramide a base triangolare una qualsiasi piramide avente per base un triangolo. In modo equivalente, una piramide triangolare è un poliedro con alla base un triangolo e con un vertice esterno al piano della base, le cui facce laterali sono triangoli.

Tra le piramidi a base triangolare si distinguono le piramidi rette, oblique e regolari. Analizziamo questi tre tipi di piramide una per volta, dandone la definizione e vedendo una loro rappresentazione grafica. Successivamente elencheremo le formule della piramide triangolare obliqua, retta e regolare, e risolveremo qualche problema.

Piramide a base triangolare retta

Nella piramide retta a base triangolare l'altezza coincide con il segmento che unisce il vertice della piramide non appartenente al piano di base con il centro della circonferenza inscritta nel triangolo di base.

Una piramide retta a base triangolare.

Per ciascuno dei triangoli che formano le facce laterali della piramide consideriamo l'altezza rispetto allo spigolo di base. Tali altezze sono tra loro congruenti e vengono chiamate apotema della piramide.

Piramide a base triangolare obliqua

Una qualsiasi piramide triangolare che non sia retta si dice obliqua. In una piramide obliqua a base triangolare il piede dell'altezza della piramide non coincide con il centro della circonferenza inscritta nel triangolo di base.

Una piramide obliqua a base triangolare.

Piramide a base triangolare regolare

Si definisce piramide regolare triangolare una piramide retta avente come base un triangolo equilatero.

Una piramide regolare a base triangolare.

Un caso particolare di piramide triangolare regolare è il tetraedro regolare, l'unico solido platonico che rientra nella famiglia delle piramidi e che ha come facce quattro triangoli equilateri congruenti.

Formule della piramide a base triangolare triangolare

Passiamo ora all'elenco delle formule della piramide triangolare nel caso obliquo, in quello retto e in quello regolare. Ovviamente i casi retto e regolare ereditano tutte le formule del caso generale, a cui se ne aggiungono altre di più specifiche.

Prima però precisiamo la corrispondenza tra i nomi e i simboli che abbiamo usato: è il volume, l'area di base, l'area della superficie laterale, l'area della superficie totale, l'altezza della piramide, il raggio della circonferenza inscritta nel triangolo di base, l'apotema della piramide (nel caso retto) e lo spigolo di base della piramide triangolare regolare.

Non fatevi spaventare dalla lunghezza dell'elenco! Le formule della piramide a base triangolare sono le stesse della piramide con base qualsiasi, a cui si aggiungono le formule della piramide regolare triangolare, che discendono dalle proprietà del triangolo equilatero.

Esercizi svolti sulla piramide a base triangolare

Quelli risolti qui di seguito sono una serie di problemi sul calcolo di volume, area, altezza e apotema della piramide a base triangolare. Ogni esercizio è svolto in ogni suo punto e abbiamo riportato tutti i calcoli.

1) La base di una piramide triangolare obliqua è un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 5 cm e 12 cm. Calcolare il volume della piramide sapendo che l'altezza è il doppio dell'ipotenusa del triangolo di base.

Svolgimento: calcoliamo l'area di base (area del triangolo rettangolo) che è data dal semiprodotto delle misure dei cateti

dopodiché individuiamo la misura dell'ipotenusa con il teorema di Pitagora

e determiniamo la misura dell'altezza della piramide, che è il doppio dell'ipotenusa

Possiamo ora calcolare il volume della piramide

2) I lati della base di una piramide retta triangolare misurano 10 dm, 32,5 dm e 37,5 dm e l'altezza della piramide è 1/4 del perimetro di base. Calcolare l'area della superficie laterale, l'area della superficie totale, il volume e la misura dell'apotema della piramide.

Svolgimento: siano

le misure dei tre lati del triangolo di base.

Dalla loro somma si ottiene il perimetro del triangolo

da cui si può risalire alla misura dell'altezza della piramide

Calcoliamo l'area di base con la formula di Erone

dove è il semiperimetro, cioè

Dunque

Troviamo poi la misura del raggio della circonferenza inscritta nella base dividendo il doppio dell'area di base per il perimetro

e determiniamo la misura dell'apotema della piramide con il teorema di Pitagora

Fatto ciò possiamo calcolare:

- il volume della piramide dividendo per 3 il prodotto tra area di base e altezza

- l'area della superficie laterale dividendo per 2 il prodotto tra perimetro di base e apotema

- l'area della superficie totale come somma tra area della superficie laterale e area di base

3) Lo spigolo di base di una piramide regolare a base triangolare misura 8√3 metri e l'apotema della piramide è di 5 metri. Quanto è alta la piramide? Determinare anche l'area della superficie laterale, l'area della superficie totale e il volume.

Svolgimento: lo spigolo di base di una piramide triangolare regolare è il lato di un triangolo equilatero

da cui si può risalire alla misura del raggio della circonferenza inscritta con la seguente formula

Sapendo che l'apotema della piramide misura 5 metri

calcoliamo la misura dell'altezza con il teorema di Pitagora

Proseguiamo determinando perimetro e area di base

per poi calcolare il volume della piramide, l'area della superficie laterale e l'area della superficie totale

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Abbiamo terminato! Per altri problemi svolti vi rimandiamo alla nostra scheda di esercizi sulla piramide, e se non dovessero bastare potete usare la barra di ricerca interna. ;)