Soluzioni
  • L'area di una piramide è l'area della superficie totale, data dalla somma delle aree di tutte le facce della piramide. L'area della superficie laterale è, invece, la somma delle aree dei triangoli che definiscono le facce laterali.

     

    Area piramide

    Area piramide = Stot = Slat + Sb

     

    Formule per l'area della piramide

    Indichiamo con S_{tot} l'area della superficie totale, con S_{lat} l'area della superficie laterale e con S_b l'area di base. Le formule utili a calcolare i vari tipi di area di una piramide qualsiasi (sia obliqua che retta) sono quelle riportate nella seguente tabella.

     

    Area della superficie totale della piramide

    S_{tot}=S_{lat}+S_b

    Area della superficie laterale della piramide

    S_{lat}=S_{tot}-S_b

    Area della superficie di base della piramide

    S_b=S_{tot}-S_{lat}

     

    Per fare un ripasso di tutte le formule della piramide vi rimandiamo al formulario del link e per il calcolo dell'area di base è utile tenere a mente le formule dell'area dei poligoni.

    Area della superficie laterale della piramide retta

    Nella piramide retta, e quindi in quella regolare, il poligono di base è circoscrivibile a una circonferenza e l'altezza della piramide coincide con il segmento che unisce il vertice esterno al piano di base con il centro della circonferenza inscritta.

     

    Piramide retta

    Una piramide retta.

     

    Le altezze relative allo spigolo di base di ogni triangolo delle facce laterali sono congruenti tra loro e ciascuna di esse prende il nome di apotema della piramide.

    L'area della superficie laterale di una piramide retta è la somma delle aree di più triangoli (tanti quanti sono gli spigoli di base) aventi la stessa altezza.

     

    Superficie laterale piramide retta

     

    La somma delle misure delle basi di questi triangoli coincide con il perimetro di base, dunque l'area della superficie laterale della piramide retta è il semiprodotto tra il perimetro di base e l'apotema.

    S_{lat}=\frac{2p \times a}{2}

    Esercizi svolti sull'area della piramide

    Passiamo all'atto pratico e vediamo qualche problema svolto sul calcolo dell'area di base, dell'area della della superficie laterale e dell'area della superficie totale di una piramide.

    1) Lo spigolo di base di una piramide regolare esagonale è di 10 cm e il suo apotema misura 25 cm. Calcolare l'area di base, l'area della superficie laterale e l'area della superficie totale.

    Svolgimento: l'area di base è quella di un esagono regolare. Conoscendo la misura del lato

    L=10 \mbox{ cm}

    possiamo calcolarne il valore moltiplicando il quadrato del lato per la costante d'area dell'esagono φ=2,598

    S_b=L^2 \times \varphi = (10 \mbox{ cm})^2 \times 2,598 = (100 \mbox{ cm}^2) \times 2,598 = 259,8 \mbox{ cm}^2

    Troviamo il perimetro di base moltiplicando la misura del lato per 6

    2p=6L=6 \times (10 \mbox{ cm})=60 \mbox{ cm}

    e determiniamo l'area della superficie laterale dividendo per 2 il prodotto tra perimetro di base e apotema

    S_{lat}=\frac{2p \times a}{2}=\frac{(60 \mbox{ cm}) \times (25 \mbox{ cm})}{2}=\frac{1500 \mbox{ cm}^2}{2} = 750 \mbox{ cm}^2

    Infine, calcoliamo l'area della superficie totale come somma tra area della superficie laterale e area di base

    S_{tot}=S_{lat}+S_b=750 \mbox{ cm}^2 + 259,8 \mbox{ cm}^2 = 1009,8 \mbox{ cm}^2

    2) La base di una piramide triangolare retta è un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 9 dm e 40 dm. Calcolare l'area della piramide sapendo che è alta 7,5 dm.

    Svolgimento: indichiamo con c_1 e c_2 i due cateti e con i l'ipotenusa del triangolo rettangolo. Sapendo che

    \\ c_1=9 \mbox{ dm} \\ \\ c_2=40 \mbox{ dm}

    calcoliamo l'area del triangolo

    S_{b}=\frac{c_1 \times c_2}{2}=\frac{(9 \mbox{ dm}) \times (40 \mbox{ dm})}{2}=\frac{360 \mbox{ dm}^2}{2}=180 \mbox{ dm}^2

    la misura dell'ipotenusa con il teorema di Pitagora

    \\ i=\sqrt{c_1^2+c_2^2} = \sqrt{(9 \mbox{ dm})^2+(40 \mbox{ dm})^2} = \\ \\ = \sqrt{81 \mbox{ dm}^2 + 1600 \mbox{ dm}^2} = \sqrt{1681 \mbox{ dm}^2} = 41 \mbox{ dm}

    e il perimetro di base sommando le misure di cateti e ipotenusa

    2p=c_1+c_2+i= 9 \mbox{ dm} + 40 \mbox{ dm} + 41 \mbox{ dm} = 90 \mbox{ dm}

    Determiniamo poi la misura del raggio della circonferenza inscritta dividendo il doppio dell'area di base per il perimetro

    r=\frac{2S_b}{2p}=\frac{2 \times (180 \mbox{ dm}^2)}{90 \mbox{ dm}} = \frac{360 \mbox{ dm}^2}{90 \mbox{ dm}} = 4 \mbox{ dm}

    e calcoliamo la lunghezza dell'apotema della piramide con il teorema di Pitagora

    \\ a=\sqrt{h^2+r^2} = \sqrt{(7,5 \mbox{ dm})^2+(4 \mbox{ dm})^2} = \\ \\ = \sqrt{56,25 \mbox{ dm}^2 + 16 \mbox{ dm}^2} = \sqrt{72,25 \mbox{ dm}^2} = 8,5 \mbox{ dm}

    Abbiamo tutto quello che ci serve per calcolare l'area della superficie laterale

    S_{lat}=\frac{2p \times a}{2}=\frac{(90 \mbox{ dm}) \times (8,5 \mbox{ dm})}{2}=\frac{765 \mbox{ dm}^2}{2}=382,5 \mbox{ dm}^2

    e possiamo concludere l'esercizio determinando l'area della superficie totale della piramide

    S_{tot}=S_{lat}+S_b=382,65 \mbox{ dm}^2 + 180 \mbox{ dm}^2 = 562,5 \mbox{ dm}^2

    3) Calcolare l'area di una piramide regolare quadrangolare di cui è noto che il volume è di 48 metri cubi e che lo spigolo di base misura 6 metri.

    Svolgimento: la base di una piramide quadrangolare regolare è un quadrato; essendo nota la misura dello spigolo di base

    L=6 \mbox{ m}

    possiamo determinare l'area di base (area del quadrato)

    S_b=L^2=(6 \mbox{ m})^2 = 36 \mbox{ m}^2

    il perimetro di base

    2p=4L=4 \times (6 \mbox{ m}) = 24 \mbox{ m}

    e la misura del raggio della circonferenza inscritta (apotema del quadrato)

    r=\frac{L}{2}=\frac{6 \mbox{ m}}{2}=3 \mbox{ m}

    Dalla formula del volume della piramide

    V=\frac{S_b \times h}{3}

    ricaviamo la misura dell'altezza

    h=\frac{3V}{S_b}=\frac{3 \times (48 \mbox{ m}^3)}{36 \mbox{ m}^2}=4 \mbox{ m}

    per poi calcolare la lunghezza dell'apotema con il teorema di Pitagora

    \\ a=\sqrt{h^2+r^2} = \sqrt{(4 \mbox{ m})^2+(3 \mbox{ m})^2} = \\ \\ = \sqrt{16 \mbox{ m}^2 + 9 \mbox{ m}^2} = \sqrt{25 \mbox{ m}^2} = 5 \mbox{ m}

    Possiamo ora trovare l'area della superficie laterale

    S_{lat}=\frac{2p \times a}{2}=\frac{(24 \mbox{ m}) \times (5 \mbox{ m})}{2}=\frac{120 \mbox{ m}^2}{2}=60 \mbox{ m}^2

    e l'area della superficie totale

    S_{tot}=S_{lat}+S_b=60 \mbox{ m}^2 + 36 \mbox{ m}^2 = 96 \mbox{ m}^2

    ***

    È tutto! Nella scheda di esercizi sulle piramide trovate altri problemi svolti con cui continuare a far pratica.

    Risposta di Galois
 
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