Soluzioni
  • Una piramide quadrangolare regolare è una piramide retta avente come base un quadrato. Nella piramide quadrangolare regolare l'altezza coincide con il segmento che unisce il vertice della piramide esterno alla base con il centro della circonferenza inscritta nel quadrato.

    Le facce laterali sono triangoli isosceli congruenti e le altezze relative agli spigoli di base di ciascun triangolo hanno la stessa misura e prendono il nome di apotema della piramide.

     

    Piramide regolare quadrangolare

    Una piramide quadrangolare regolare.

     

    Formule della piramide quadrangolare regolare

    Nell'elencare le formule della piramide regolare quadrangolare abbiamo indicato con V è il volume, con S_(tot) l'area della superficie totale, con S_(lat) l'area della superficie laterale, con S_b l'area di base, con 2p il perimetro, con L lo spigolo di base, con r il raggio della circonferenza inscritta nella base, con h l'altezza della piramide e con a l'apotema.

     

    Volume della piramide regolare quadrangolare

    V = (S_(b)×h)/(3)

    Superficie di base (dal volume)

    S_b = (3V)/(h)

    Altezza (dal volume)

    h = (3V)/(S_b)

    Spigolo di base (dal volume)

    L = √((3V)/(h))

    Superficie totale della piramide regolare quadrangolare

    S_(tot) = S_(lat)+S_(b)

    Superficie laterale (dalla totale)

    S_(lat) = S_(tot)-S_(b)

    Superficie di base (dalla totale)

    S_(b) = S_(tot)-S_(lat)

    Superficie di base (area del quadrato)

    S_b = L^2

    Perimetro di base (perimetro del quadrato)

    2p = 4L

    Superficie laterale della piramide regolare quadrangolare

    S_(lat) = (2p×a)/(2) ; S_(lat) = (4L×a)/(2)

    Perimetro di base (con superficie laterale)

    2p = (2S_(lat))/(a)

    Apotema (con superficie laterale)

    a = (2S_(lat))/(2p)

    Spigolo di base (con superficie laterale)

    L = (2S_(lat))/(4a)

    Raggio della circonferenza inscritta nella base (apotema del quadrato)

    r = (L)/(2)

    Spigolo di base (con il raggio)

    L = 2r

    Perimetro di base (con il raggio)

    2p = 8r

    Superficie di base (con il raggio)

    S_b = 4r^2

    Apotema della piramide (teorema di Pitagora)

    a = √(h^2+r^2)

    Raggio di base (con l'apotema)

    r = √(a^2-h^2)

    Altezza (con l'apotema)

    h = √(a^2-r^2)

    Nota: tenere a mente le formule del quadrato.

     

     

    Per ogni genere di approfondimento sulla piramide (formule nel caso generale, classificazioni e proprietà) vi rimandiamo alla lezione del link.

    Esercizi svolti sulla piramide quadrangolare regolare

    Per prendere confidenza con le formule appena elencate vi proponiamo qualche problema svolto e spiegato punto per punto sulla piramide regolare quadrangolare.

    1) Lo spigolo di base e l'altezza di una piramide regolare quadrangolare misurano 1,8 metri e 4 metri. Calcolare l'area della superficie laterale, l'area della superficie totale e il volume.

    Svolgimento: dalla misura dello spigolo di base

    L = 1,8 m

    possiamo calcolare l'area, il perimetro di base e il raggio della circonferenza inscritta

     S_b = L^2 = (1,8 m)^2 = 3,24 m^2 ; 2p = 4L = 4×(1,8 m) = 7,2 m ; r = (L)/(2) = (1,8 m)/(2) = 0,9 m

    Conoscendo la misura dell'altezza della piramide

    h = 4 m

    possiamo risalire al volume dividendo per 3 il prodotto tra l'area della superficie di base e l'altezza

    V = (S_b×h)/(3) = ((3,24 m^2)×(4 m))/(3) = (12,96 m^3)/(3) = 4,32 m^3

    Per trovare l'area della superficie laterale

    S_(lat) = (2p×a)/(2)

    ci manca la misura dell'apotema, che possiamo calcolare con il teorema di Pitagora

     a = √(h^2+r^2) = √((4 m)^2+(0,9 m)^2) = √(16 m^2+0,81 m^2) = √(16,81 m^2) = 4,1 m

    Dunque

    S_(lat) = (2p×a)/(2) = ((7,2 m)×(4,1 m))/(2) = (29,52 m^2)/(2) = 14,76 m^2

    Infine, dalla somma tra area della superficie laterale e area di base si ottiene l'area della superficie totale

    S_(tot) = S_(lat)+S_b = 14,76 m^2+3,24 m^2 = 18 m^2

    2) L'apotema di una piramide regolare quadrangolare misura 10 cm e l'area di base è 31,36 cm2. Calcolare l'area della superficie totale e il volume della piramide.

    Svolgimento: determiniamo la misura dello spigolo di base estraendo la radice quadrata dell'area

    L = √(S_b) = √(31,36 cm^2) = 5,6 cm

    per poi calcolare la misura del raggio della circonferenza inscritta

    r = (L)/(2) = (5,6 cm)/(2) = 2,8 cm

    e l'altezza della piramide con il teorema di Pitagora

     h = √(a^2-r^2) = √((10 cm)^2-(2,8 cm)^2) = √(100 cm^2-7,84 cm^2) = √(92,16 cm^2) = 9,6 cm

    Calcoliamo poi il volume della piramide

    V = (S_b×h)/(3) = ((31,36 cm^2)×(9,6 cm))/(3) = (301,056 cm^3)/(3) = 100,352 cm^3

    l'area della superficie laterale

    S_(lat) = (2p×a)/(2) = (4L×a)/(2) = (4×(5,6 cm)×(10 cm))/(2) = (224 cm^2)/(2) = 112 cm^2

    e l'area della superficie totale

    S_(tot) = S_(lat)+S_b = 112 cm^2+31,36 cm^2 = 143,36 cm^2

    3) Determinare l'area della superficie totale e le misure di spigolo di base, altezza e apotema di una piramide quadrangolare regolare di cui è noto che la diagonale di base misura 26√2 dm e che il volume è di 18928 dm3.

    Svolgimento: la diagonale di base è la diagonale di un quadrato

    d = 26√(2) dm

    da cui possiamo calcolare la misura dello spigolo di base

    L = (d)/(√(2)) = (26 √(2) dm)/(√(2)) = 26 dm

    e quindi determinare area, perimetro di base e raggio della circonferenza inscritta

     S_b = L^2 = (26 dm)^2 = 676 dm^2 ; 2p = 4L = 4×(26 dm) = 104 dm ; r = (L)/(2) = (26 dm)/(2) = 13 dm

    Essendo noto il volume

    V = 18928 dm^3

    e avendo calcolato l'area di base

    S_b = 676 dm^2

    possiamo determinare la misura dell'altezza della piramide

    h = (3V)/(S_b) = (3×(18928 dm^3))/(676 dm^2) = (56784 dm^3)/(676 dm^2) = 84 dm

    per poi ricavare la misura dell'apotema con il teorema di Pitagora

     a = √(h^2+r^2) = √((84 dm)^2+(13 dm)^2) = √(7056 dm^2+169 dm^2) = √(7225 dm^2) = 85 dm

    e terminare calcolando l'area della superficie laterale

    S_(lat) = (2p×a)/(2) = ((104 dm)×(85 dm))/(2) = (8840 dm^2)/(2) = 4420 dm^2

    e l'area della superficie totale

    S_(tot) = S_(lat)+S_b = 4420 dm^2+676 dm^2 = 5096 dm^2

    ***

    È tutto! Nella scheda di esercizi sulle piramidi o usando la barra di ricerca interna troverete altri problemi svolti con cui continuare a fare pratica. ;)

    Risposta di Galois
 
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