Soluzioni
  • Una piramide a base esagonale ha per base un esagono qualsiasi (regolare o irregolare) e può essere definita come un poliedro con alla base un poligono di 6 lati e con un vertice esterno al piano di base.

    Le piramidi esagonali seguono la stessa classificazione delle piramidi qualsiasi, quindi si possono incontrare piramidi a base esagonale oblique, rette o regolari, ciascuna caratterizzata da proprietà e formule differenti.

    Procediamo per gradi e vediamo dapprima la definizione e una rappresentazione grafica di ciascun tipo di piramide, per poi elencare le formule e svolgere qualche esercizio, soffermandoci soprattutto sulla piramide regolare esagonale, che è quella che più si incontra nei problemi di Geometria Solida.

    Piramide a base esagonale retta

    Nella piramide retta a base esagonale l'esagono di base è circoscrivibile a una circonferenza e il piede dell'altezza della piramide coincide con il centro della circonferenza inscritta.

    Le altezze delle facce laterali relative a ciascuno spigolo di base sono congruenti tra loro e ciascuna di esse prende il nome di apotema della piramide.

     

    Piramide retta a base esagonale

    Una piramide retta a base esagonale.

     

    Piramide regolare a base esagonale

    La piramide regolare esagonale è una piramide retta con alla base un esagono regolare, dunque l'altezza della piramide coincide con il segmento che unisce il vertice della piramide non appartenente al piano di base con il centro della circonferenza inscritta. Le sue facce laterali sono triangoli isosceli congruenti.

     

    Piramide regolare a base esagonale

    Una piramide regolare a base esagonale.

     

    Piramide obliqua a base esagonale

    Prende il nome di piramide esagonale obliqua una qualsiasi piramide a base esagonale non retta. Stando a questa definizione, l'esagono di base non è circoscrivibile a una circonferenza oppure, se lo è, il piede dell'altezza della piramide non coincide col centro della circonferenza inscritta.

     

    Piramide obliqua a base esagonale

    Una piramide obliqua a base esagonale.

     

    Formule della piramide a base esagonale

    Nella seguente tabella abbiamo riportato le formule della piramide esagonale retta, regolare e nel caso generale. Abbiamo indicato con V il volume, con S_{tot} l'area della superficie totale, con S_{lat} l'area della superficie laterale, con S_b l'area di base, con h l'altezza della piramide, con 2p il perimetro di base.

    Nella piramide esagonale retta e in quella regolare a è l'apotema, r il raggio della circonferenza inscritta nel poligono di base e L lo spigolo di base.

     

    Volume della piramide a base esagonale (qualsiasi)

    V=\frac{S_{b}\times h}{3}

    Superficie di base (dal volume)

    S_b=\frac{3V}{h}

    Altezza (dal volume)

    h=\frac{3V}{S_b}

    Superficie totale della piramide a base esagonale (qualsiasi)

    S_{tot}=S_{lat}+S_{b}

    Superficie laterale (dalla totale)

    S_{lat}=S_{tot}-S_{b}

    Superficie di base (dalla totale)

    S_{b}=S_{tot}-S_{lat}

    Superficie di base

    Dipende dall'esagono di base.

    Formule della piramide retta a base esagonale

     

    Superficie laterale

    S_{lat}=\frac{2p\times a}{2}

    Perimetro di base (con superficie laterale)

    2p=\frac{2S_{lat}}{a}

    Apotema (con superficie laterale)

    a=\frac{2S_{lat}}{2p}

    Raggio della circonferenza inscritta nella base

    r=\frac{2S_b}{2p}

    Perimetro di base (con il raggio)

    2p=\frac{2S_b}{r}

    Superficie di base (con il raggio)

    S_b=\frac{2p\times r}{2}

    Apotema della piramide (teorema di Pitagora)

    a=\sqrt{h^2+r^2}

    Raggio di base (con l'apotema)

    r=\sqrt{a^2-h^2}

    Altezza (con l'apotema)

    h=\sqrt{a^2-r^2}

    Formule della piramide regolare esagonale

    Tenere a mente le formule dell'esagono regolare.

    Superficie di base (area dell'esagono regolare)

    S_b=L^2 \times \varphi \\ \\ S_b= L^2 \times 2,598

    Perimetro di base (perimetro dell'esagono regolare)

    2p=6L

    Raggio di base (apotema dell'esagono)

    r=L \times f \\ \\ r= L \times 0,866

    Spigolo di base (dall'area)

    L=\sqrt{\frac{S_b}{\varphi}}\\ \\ L=\sqrt{\frac{S_b}{2,598}}

    Spigolo di base (dal perimetro)

    L=\frac{2p}{6}

    Spigolo di base (dal raggio)

    L=\frac{r}{f}=\frac{r}{0,866}

     

    Non lasciatevi intimorire dalla lunghezza dell'elenco! Le formule della piramide a base esagonale nel caso generale e nel caso retto sono le stesse della piramide con base qualsiasi, quindi non c'è nulla di nuovo da dover ricordare.

    Quelle della piramide regolare a base esagonale derivano dalle proprietà dell'esagono regolare, che dovreste conoscere più che bene.

    Esercizi svolti sulla piramide a base esagonale

    Dopo tanta teoria è finalmente giunto il momento di passare agli esercizi sulla piramide esagonale. Leggendone gli svolgimenti avrete modo di prendere confidenza con le formule elencate e tutto vi risulterà più chiaro.

    1) Una piramide regolare esagonale ha lo spigolo di base lungo 5 cm e l'altezza è i suoi 3/2. Calcolarne la misura dell'apotema, l'area della superficie laterale, l'area della superficie totale e il volume.

    Svolgimento: dallo spigolo di base

    L=5 \mbox{ cm}

    possiamo ricavare:

    - la misura dell'altezza della piramide, che sappiamo essere i 3/2 dello spigolo di base

    h=\frac{3}{2}L = \frac{3}{2} \times (5 \mbox{ cm}) = 7,5 \mbox{ cm}

    - il perimetro di base, moltiplicando lo spigolo per 6

    2p=6L = 6 \times (5 \mbox{ cm}) = 30 \mbox{ cm}

    - l'area di base, come prodotto tra il quadrato dello spigolo e la costante d'area dell'esagono

    S_b=L^2 \times \varphi = (5 \mbox{ cm})^2 \times 2,598 = (25 \mbox{ cm}^2) \times 2,598 = 64,95 \mbox{ cm}^2

    - il raggio della circonferenza inscritta, moltiplicando la misura dello spigolo per il numero fisso dell'esagono

    r=L \times f = (5 \mbox{ cm}) \times (0,866) = 4,33 \mbox{ cm}

    Con queste premesse possiamo determinare la misura dell'apotema con il teorema di Pitagora

    \\ a=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{(7,5 \mbox{ cm})^2+(4,33 \mbox{ cm})^2} = \\ \\ = \sqrt{56,25 \mbox{ cm}^2 + 18,7489 \mbox{ cm}^2} = \sqrt{74,9989 \mbox{ cm}^2} \simeq 8,66 \mbox{ cm}

    Successivamente, l'area della superficie laterale dividendo per 2 il prodotto tra perimetro di base e apotema

    S_{lat}=\frac{2p \times a}{2} = \frac{(30 \mbox{ cm}) \times (8,66 \mbox{ cm})}{2}=\frac{259,8 \mbox{ cm}^2}{2}=129,9 \mbox{ cm}^2

    l'area della superficie totale come somma tra area di base e area della superficie laterale

    S_{tot}=S_{lat}+S_b=129,9 \mbox{ cm}^2 + 64,95 \mbox{ cm}^2 = 194,85 \mbox{ cm}^2

    e il volume della piramide con la relativa formula

    V=\frac{S_b \times h}{3}=\frac{(64,95 \mbox{ cm}^2) \times (7,5 \mbox{ cm})}{3} = \frac{487,125 \mbox{ cm}^3}{3} = 162,375 \mbox{ cm}^3

    2) Calcolare il volume di una piramide esagonale regolare di cui è noto che l'area della superficie laterale è di 7956 metri quadrati e che il perimetro di base è di 312 metri.

    (Arrotondare i risultati all'intero).

    Svolgimento: iniziamo calcolando la misura dell'apotema della piramide dividendo il doppio dell'area della superficie laterale per il perimetro di base

    a=\frac{2S_{lat}}{2p}=\frac{2 \times (7956 \mbox{ m}^2)}{312 \mbox{ m}} = \frac{15912 \mbox{ m}^2}{312 \mbox{ m}}=51 \mbox{ m}

    Proseguiamo determinando la misura dello spigolo di base dal perimetro

    L=\frac{2p}{6}=\frac{312 \mbox{ m}}{6}=52 \mbox{ m}

    per poi poter calcolare l'area di base

    S_b=L^2 \times \varphi = (52 \mbox{ m})^2 \times 2,598 = (2704 \mbox{ m}^2) \times 2,598 \simeq 7025 \mbox{ m}^2

    il raggio della circonferenza inscritta

    r=L \times f = (52 \mbox{ m}) \times (0,866) \simeq 45 \mbox{ m}

    e la misura dell'altezza della piramide

    \\ h=\sqrt{a^2-r^2}=\sqrt{(51 \mbox{ m})^2-(45 \mbox{ m})^2} = \\ \\ = \sqrt{2601 \mbox{ m}^2 - 2025 \mbox{ m}^2} = \sqrt{576 \mbox{ m}^2} = 24 \mbox{ m}

    Abbiamo ora tutto quello che ci serve per calcolare il volume

    V=\frac{S_b \times h}{3}=\frac{(7025 \mbox{ m}^2) \times (24 \mbox{ m})}{3} = \frac{168600 \mbox{ m}^3}{3} = 56200 \mbox{ m}^3

    ***

    Se siete alla ricerca di altri problemi con cui continuare ad allenarvi potete consultare la nostra scheda di esercizi sulle piramidi - click! ;)

    Risposta di Galois
 
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