Apotema piramide

L'apotema della piramide si calcola come a=2S_lat/2p, ossia dividendo il doppio dell'area della superficie laterale per il perimetro di base. L'apotema di una piramide è l'altezza relativa allo spigolo di base di uno dei triangoli che formano la superficie laterale, ed è definito solo nelle piramidi rette.

Cos'è l'apotema di una piramide

L'apotema è definito solo per le piramidi rette, ossia per quelle piramidi che hanno come base un poligono circoscrivibile a una circonferenza e tali che il piede dell'altezza della piramide coincide con il centro della circonferenza inscritta.

L'apotema di una piramide retta per definizione è l'altezza relativa allo spigolo di base di uno qualsiasi dei triangoli che formano la superficie laterale della piramide (e non va confuso con l'apotema dei poligoni regolari).

Apotema a di una piramide retta = 2S_lat/2p.

Formule per l'apotema della piramide

Prima di elencare le formule per determinare la misura dell'apotema di una piramide precisiamo i simboli che abbiamo adottato: è l'apotema, l'area della superficie laterale, il perimetro del poligono di base, l'altezza della piramide e il raggio della circonferenza inscritta nella base.

Per qualsiasi approfondimento sulla piramide (classificazione, formule e proprietà) vi rimandiamo alla lezione del link.

Esercizi svolti sull'apotema della piramide

Analizziamo ognuna delle formule elencate, spiegando da dove derivano e mostrando degli esempi di applicazione risolvendo dei veri e propri problemi sul calcolo dell'apotema di una piramide.

Calcolo apotema piramide con area della superficie laterale e perimetro di base

Per determinare la misura dell'apotema di una piramide bisogna risalire all'area della superficie laterale e al perimetro del poligono di base, per poi dividere il doppio dell'area della superficie laterale per la misura del perimetro

La precedente formula si ricava invertendo la formula dell'area della superficie laterale di una piramide retta in favore dell'apotema

Esempi

1) Calcolare la misura dell'apotema di una piramide pentagonale regolare sapendo che l'area della superficie laterale è di 135 cm² e che lo spigolo di base misura 8 cm.

Svolgimento: essendo nota la misura dello spigolo di base

possiamo calcolare la misura del perimetro del pentagono regolare alla base della piramide moltiplicando lo spigolo per 5

per poi determinare la misura dell'apotema della piramide dividendo il doppio dell'area della superficie laterale fornita dal testo del problema per il perimetro di base

2) L'area della superficie totale di una piramide triangolare retta è di 96,2 dm² e i lati del triangolo di base misurano 7,8 dm, 8,2 dm e 10 dm . Calcolare la misura dell'apotema.

Svolgimento: siano

le misure dei lati del triangolo di base. Calcoliamo la misura del perimetro

e determiniamo l'area di base con la formula di Erone

dove è il semiperimetro

Dunque

Individuiamo l'area della superficie laterale come differenza

e concludiamo calcolando la misura dell'apotema

Calcolo apotema piramide con raggio e altezza

L'apotema è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono l'altezza della piramide e il raggio della circonferenza inscritta nel poligono di base.

Vale, allora, il teorema di Pitagora, con cui possiamo calcolare la misura dell'apotema estraendo la radice quadrata della somma dei quadrati delle misure di altezza e raggio

Esempi

1) L'area di base di una piramide regolare esagonale è di 1039,2 metri quadrati e l'altezza misura 12,99 metri. Calcolare la misura dell'apotema.

Svolgimento: dalla formula dell'area dell'esagono regolare

possiamo ricavare la misura dello spigolo di base

e determinare il raggio della circonferenza inscritta (apotema dell'esagono) moltiplicando lo spigolo per il numero fisso dell'esagono (f=0,866)

Infine, con il teorema di Pitagora calcoliamo la misura dell'apotema (della piramide)

2) Calcolare la misura dell'apotema di piramide retta a base quadrata di cui è noto che il volume è di 384 metri cubi e che la diagonale di base misura 12√2 metri.

Svolgimento: la diagonale di base è la diagonale di un quadrato, dalla cui misura

si può risalire allo spigolo di base (lato del quadrato)

e quindi calcolare l'area di base

Determiniamo la misura del raggio della circonferenza inscritta (apotema del quadrato)

e calcoliamo la misura dell'altezza invertendo la formula del volume della piramide

Terminiamo poi l'esercizio trovando la misura dell'apotema con il teorema di Pitagora

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Nella nostra scheda di esercizi sulla piramide trovate altri problemi svolti con cui continuare a mettere in pratica quanto appreso in questa pagina. ;)