Soluzioni
  • Si dice piramide quadrangolare una piramide che ha per base un quadrilatero qualsiasi, quindi possiamo definire la piramide a base quadrangolare come un poliedro costituito da una base data da un quadrilatero e da un vertice esterno al piano della base.

    Una piramide quadrangolare può essere obliqua, retta o regolare. Esaminiamo ognuno di tali tipi di piramide dandone la definizione e una rappresentazione grafica, per poi elencare le formule della piramide quadrangolare e concludere con qualche problema svolto.

    Piramide quadrangolare retta

    Una piramide quadrangolare retta ha per base un quadrilatero circoscrivibile a una circonferenza e l'altezza della piramide coincide con il segmento che unisce il vertice della piramide esterno al piano di base con il centro della circonferenza inscritta nel poligono di base.

    Le altezze relative agli spigoli di base dei triangoli che formano la superficie laterale della piramide sono congruenti, e ciascuna di esse prende il nome di apotema della piramide.

     

    Piramide quadrangolare retta

    Una piramide quadrangolare retta.

     

    Piramide quadrangolare regolare

    La piramide regolare quadrangolare è una piramide retta a base quadrata, quindi l'altezza della piramide è il segmento che unisce il vertice della piramide esterno al piano di base con il punto di intersezione delle diagonali del quadrato. Le facce laterali sono triangoli isosceli congruenti tra loro.

     

    Piramide quadrangolare regolare

    Una piramide quadrangolare regolare.

     

    Piramide quadrangolare obliqua

    Si dice piramide obliqua a base quadrangolare una qualsiasi piramide quadrangolare che non sia retta, dunque ha per base un quadrilatero non circoscrivibile a una circonferenza oppure, anche se la base è circoscrivibile, l'altezza non coincide con il segmento che congiunge il vertice della piramide esterno al piano di base con il centro della circonferenza.

     

    Piramide quadrangolare obliqua

    Una piramide quadrangolare obliqua.

     

    Formule della piramide quadrangolare

    Dopo aver chiarito come si definiscono i vari tipi di piramide quadrangolare passiamo all'elenco delle formule nel caso generale, nel caso retto e nel caso regolare.

    Nello scrivere le varie formule abbiamo indicato con V il volume, con S_{tot} l'area della superficie totale, con S_{lat} l'area della superficie laterale, con S_b l'area di base, con h l'altezza della piramide, con 2p il perimetro di base. Nella piramide quadrangolare retta e in quella regolare a è l'apotema, r il raggio della circonferenza inscritta nel poligono di base e L lo spigolo di base.

     

    Volume della piramide quadrangolare (qualsiasi)

    V=\frac{S_{b}\times h}{3}

    Superficie di base (dal volume)

    S_b=\frac{3V}{h}

    Altezza (dal volume)

    h=\frac{3V}{S_b}

    Superficie totale della piramide quadrangolare (qualsiasi)

    S_{tot}=S_{lat}+S_{b}

    Superficie laterale (dalla totale)

    S_{lat}=S_{tot}-S_{b}

    Superficie di base (dalla totale)

    S_{b}=S_{tot}-S_{lat}

    Superficie di base

    Dipende dal quadrilatero di base.

    Formule della piramide quadrangolare retta

     

    Superficie laterale

    S_{lat}=\frac{2p\times a}{2}

    Perimetro di base (con superficie laterale)

    2p=\frac{2S_{lat}}{a}

    Apotema (con superficie laterale)

    a=\frac{2S_{lat}}{2p}

    Raggio della circonferenza inscritta nella base

    r=\frac{2S_b}{2p}

    Perimetro di base (con il raggio)

    2p=\frac{2S_b}{r}

    Superficie di base (con il raggio)

    S_b=\frac{2p\times r}{2}

    Apotema della piramide (teorema di Pitagora)

    a=\sqrt{h^2+r^2}

    Raggio di base (con l'apotema)

    r=\sqrt{a^2-h^2}

    Altezza (con l'apotema)

    h=\sqrt{a^2-r^2}

    Formule della piramide quadrangolare regolare

    Tenere a mente le formule del quadrato.

    Superficie di base (area del quadrato)

    S_b=L^2

    Perimetro di base (perimetro del quadrato)

    2p=4L

    Raggio di base (apotema del quadrato)

    r=\frac{L}{2}

    Spigolo di base (dall'area)

    L=\sqrt{S_b}

    Spigolo di base (dal perimetro)

    L=\frac{2p}{4}

    Spigolo di base (dal raggio)

    L=2r

     

    I più attenti avranno notato che le formule della piramide quadrangolare coincidono con le formule della piramide con base qualsiasi, a cui si aggiungono quelle della piramide regolare quadrangolare, che discendono dalle proprietà del quadrato.

    Esercizi svolti sulla piramide quadrangolare

    Quelli che trovate risolti qui di seguito sono problemi svolti sulla piramide quadrangolare, commentati e spiegati punto per punto e con tutti i calcoli svolti.

    1) Una piramide quadrangolare obliqua ha per base un rettangolo di cui è noto che una dimensione è di 4 metri e che l'altra è pari ai suoi 3/2. Calcolare la misura dell'altezza della piramide sapendo che il volume è di 60 metri cubi.

    Svolgimento: siano a e b le due dimensioni di base e supponiamo che

    a=4 \mbox{ m}

    Di conseguenza

    b=\frac{3}{2} a = \frac{3}{2} \times (4 \mbox{ m}) = 6 \mbox{ m}

    Calcoliamo l'area di base (area del rettangolo) moltiplicando le misure delle dimensioni

    S_b=(4 \mbox{ m}) \times (6 \mbox{ m}) = 24 \mbox{ m}^2

    per poi determinare la misura dell'altezza della piramide dividendo il triplo del volume per l'area di base

    h=\frac{3V}{S_b}=\frac{3 \times (60 \mbox{ m}^3)}{24 \mbox{ m}^2} = \frac{180 \mbox{ m}^3}{24 \mbox{ m}^2} = 7,5 \mbox{ m}

    2) Lo spigolo di base di una piramide quadrangolare regolare è di 8 cm e l'altezza della piramide misura 3 cm. Calcolare il volume, l'area della superficie laterale e l'area della superficie totale.

    Svolgimento: lo spigolo di base di una piramide regolare quadrangolare è il lato di un quadrato. Conoscendone la misura

    L= 8 \mbox{ cm}

    possiamo ricavare l'area di base

    S_b=L^2 = (8 \mbox{ cm})^2 = 64 \mbox{ cm}^2

    il perimetro di base

    2p=4L=4 \times (8 \mbox{ cm}) = 32 \mbox{ cm}

    e il raggio della circonferenza inscritta

    r=\frac{L}{2}=\frac{8 \mbox{ cm}}{2} = 4 \mbox{ cm}

    Sapendo che l'altezza della piramide è di 3 cm

    h=3 \mbox{ cm}

    calcoliamo la misura dell'apotema della piramide con il teorema di Pitagora

    \\ a=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{(3 \mbox{ cm})^2 + (4 \mbox{ cm})^2} = \\ \\ = \sqrt{9 \mbox{ cm}^2 + 16 \mbox{ cm}^2} = \sqrt{25 \mbox{ cm}^2} = 5 \mbox{ cm}

    e il volume della piramide dividendo per 3 il prodotto tra area di base e altezza

    V=\frac{S_b \times h}{3} = \frac{(64 \mbox{ cm}^2) \times (3 \mbox{ cm})}{3} = 64 \mbox{ cm}^3

    Infine, possiamo determinare l'area della superficie laterale dividendo per 2 il prodotto tra perimetro di base e apotema

    S_{lat}=\frac{2p \times a}{2} = \frac{(32 \mbox{ cm}) \times (5 \mbox{ cm})}{2} = \frac{160 \mbox{ cm}^2}{2}=80 \mbox{ cm}^2

    e l'area della superficie totale come somma tra area di base e area della superficie laterale

    S_{tot}=S_{lat}+S_b=80 \mbox{ cm}^2 + 64 \mbox{ cm}^2 = 144 \mbox{ cm}^2

    3) Una piramide quadrangolare retta ha per base un trapezio isoscele il cui perimetro è di 20 dm. Il trapezio è circoscritto a una circonferenza lunga 15,072 dm. Calcolare il volume, l'area della superficie totale e le misure di altezza a apotema della piramide sapendo che l'area della superficie laterale è di 26 dm2.

    Svolgimento: dalla formula utile a determinare la lunghezza della circonferenza

    C=2 \pi r

    possiamo ricavare la misura del raggio

    r=\frac{C}{2 \pi} \simeq \frac{15,072 \mbox{ dm}}{2 \times 3,14} \simeq \frac{15,072 \mbox{ dm}}{6,28} \simeq 2,4 \mbox{ dm}

    per poi determinare l'area di base dividendo per 2 il prodotto tra il perimetro di base e il raggio

    S_b=\frac{2p \times r}{2}=\frac{(20 \mbox{ dm}) \times (2,4 \mbox{ dm})}{2} = \frac{48 \mbox{ dm}^2}{2}= 24 \mbox{ dm}^2

    Essendo nota l'area della superficie laterale possiamo calcolare l'area della superficie totale

    S_{tot}=S_{lat}+S_b=26 \mbox{ dm}^2 + 24 \mbox{ dm}^2 = 50 \mbox{ dm}^2

    e la misura dell'apotema

    a=\frac{2 S_{lat}}{2p}=\frac{2 \times (26 \mbox{ dm}^2)}{20 \mbox{ dm}} = \frac{52 \mbox{ dm}^2}{20 \mbox{ dm}} = 2,6 \mbox{ dm}

    per poi calcolare la misura dell'altezza con il teorema di Pitagora

    \\ h=\sqrt{a^2-r^2}=\sqrt{(2,6 \mbox{ dm})^2 - (2,4 \mbox{ dm})^2} = \\ \\ = \sqrt{6,76 \mbox{ dm}^2 - 5,76 \mbox{ dm}^2} = \sqrt{1 \mbox{ dm}^2} = 1 \mbox{ dm}

    e concludere con il volume

    V=\frac{S_b \times h}{3} = \frac{(24 \mbox{ dm}^2) \times (1 \mbox{ dm})}{3} = 8 \mbox{ dm}^3

    ***

    Per altri problemi svolti vi rimandiamo alla scheda di esercizi sulla piramide - click!

    Risposta di Galois
 
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